淺析非線性電容LC電路位移參數攝動法范文

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摘要:為了將位移小參數攝動法拓展到電路領域，用于非線性LC電路方程的求解，為非線性LC電路的研究提供一種分析方法，從系統的拉格朗日函數出發，將變分式進行有限元離散得到時段剛度陣，對電路的特征方程進行一次攝動，用一次攝動后的近似剛度陣代替原時段剛度陣，利用剛度陣與辛傳遞矩陣的關系將問題轉換成辛傳遞矩陣求解的問題，從而求出非線性電容lc電路中電容的電荷及電感的磁通鏈隨時間變化的關系圖．將算例與四階龍格庫塔法進行比較，驗證了本文方法的正確性．將本文方法與傳遞辛矩陣加法攝動進行比較，結果表明:本文方法具有一定的精度、效率及穩定性．

關鍵詞:位移法;攝動;非線性;LC電路;保辛;剛度陣

非線性LC電路是現代電子系統中重要的一部分，廣泛應用于通信、電子、測量等領域，分析研究非線性LC電路具有重要的理論意義及實際應用價值．物理問題中存在大量保守體系［1-6］，它們可用Hamilton體系描述，其特點就是保辛［1-9］．保辛可保持保守體系的結構特性，在求解過程中應該注意保辛．對非線性保守系統常用的攝動法，其過程也應考慮保辛［10-17］．位移法小參數攝動是在位移法的基礎上發展起來的一種保辛近似算法，應用于力學領域的位移法是以位移為基本未知量，利用節點處的力平衡條件建立方程［18-20］．位移法小參數攝動，是在位移法的基礎上進行優化，用一次攝動后的近似剛度陣代替原矩陣，然后轉換為辛傳遞矩陣對問題進行求解．該算法是保辛的，能夠保證保守體系的特性，已成功應用到了力學領域［21］．本文把電荷量類比于力學中的位移，將位移法攝動應用到非線性電容LC振蕩電路的求解．從由電感、電容所組成系統的拉格朗日函數出發，將變分式進行有限元離散，插值函數采用簡單的線性函數，求得時段剛度陣．然后對電路的特征方程進行一次攝動，用一次攝動后的近似剛度陣代替原時段剛度陣．再根據剛度陣與辛傳遞矩陣的轉換關系將問題轉換為辛傳遞矩陣求解，引入狀態向量，進而求解出非線性LC電路中電容的電荷及電感的磁通鏈隨時間變化的關系圖．通過與四階龍格庫塔法進行比較，驗證了本文方法的有效性與正確性．將本文方法與傳遞辛矩陣加法攝動進行比較，結果表明:本文方法在精度、效率及穩定性方面均優于傳遞辛矩陣加法攝動．

1基本原理

圖1為一個由線性電感L和非線性電容C組成的非線性串聯LC電路．電感的自感系數為l，電容器極板上的電荷量為q，電感兩端的電壓為uL=q••l，非線性電容的庫伏特性為對變分式(3)進行有限元離散，即將整個時間長度劃分成為m個區段的組合，兩端及連接面編號分別為0，1，…，m，插值函數采用簡單的線性函數．得到時段剛度陣為位移法攝動就是在此基礎上對剛度陣進行一次攝動．離散系統中，子結構k的左右兩端分別記為k－1、k，相應的出口電荷為qk－1、qk，出口剛度陣為通過辛傳遞矩陣可將區段兩端的狀態向量進行傳遞，下面引入系統的狀態向量．根據式(2)，引入磁通鏈顯然，在哈密頓的表述中，電荷q與磁通鏈互為對偶變量．于是將電荷與磁通鏈構成狀態向量 根據傳遞關系

2數值算例及討論分析

2.1驗證本文方法的正確性為驗證本文方法的有效性，將本文方法與四階龍格庫塔法取精細步長求得的數值結果進行比較．這里以x=1為例，取l=1H，c=0.1F，ε=0.1，q(0)=1C，(0)=0Wb，步長dt=10－2s．圖2所示是位移法攝動(步長取dt=10－2s)與四階龍格庫塔法(步長取dt=10－4s)得到的電荷以及磁通鏈隨時間變化的結果曲線，對比發現，本文方法與四階龍格庫塔法數值結果吻合得很好，驗證了本文方法的有效性和正確性．

2.2位移法攝動與傳遞辛矩陣加法攝動的比較位移法攝動在求解過程中能夠保證單元剛度陣的對稱性，故是保辛的．傳遞辛矩陣加法攝動也是一種常用的小參數攝動法，其基本求解思路是將原時段剛度陣直接轉換為辛傳遞矩陣，然后對辛傳遞矩陣Sk進行一次加法攝動．與位移法攝動不同的是，傳遞辛矩陣加法攝動不保辛．這里對保辛的位移法攝動與不保辛的傳遞辛矩陣加法攝動進行比較，仍取l=1H，c=0.1F，ε=0.4，q(0)=1C，(0)=0Wb．首先利用L2誤差對比2種方法的精確度，其中L2誤差(L2，error)的定義［23］為式中:xref為參考解;T為計算時間的總長度．這里計算時間的總長度T取10s，以四階龍格庫塔法取精細步長dt=10－5s得到的結果作為參考解．圖3給出了攝動參數取0.4時，位移法攝動與傳遞辛矩陣加法攝動的L2誤差隨時間步長dt變化的曲線圖．可以看出，相同時間步長下位移法攝動可以獲得較精確的計算結果，其L2，error皆低于傳遞辛矩陣加法攝動的誤差．步長取0.1s時，傳遞辛矩陣加法攝動的L2，error已經達到了14%，而位移法攝動的誤差約為7%，精度明顯高于傳遞辛矩陣加法攝動．由此看出，與傳遞辛矩陣加法攝動相比，本文方法具有較高的精確度．下面比較位移法攝動與傳遞辛矩陣加法攝動的計算效率．表1給出了取相同步長時位移法攝動與傳遞辛矩陣加法攝動的計算時長．可以看出，相同步長下位移法攝動效率明顯高于傳遞辛矩陣加法攝動，且步長越小優勢越明顯，當步長取dt=10－4s時，傳遞辛矩陣加法攝動所需時間接近2026s，而位移法攝動僅需8s．取相同步長時，位移法攝動精度高于傳遞辛矩陣加法攝動，因此，位移法攝動在確保精確度較高的同時，也保證了計算效率．為了進一步對比位移法攝動與傳遞辛矩陣加法攝動的精確度與穩定性，下面比較不同攝動參數下2種方法的相對誤差隨計算時長的變化．圖4是攝動參數分別取0.1、0.4、0.7時2種方法的相對誤差隨計算時長變化的曲線，這里步長取10－2s．顯然，位移法攝動與傳遞辛矩陣加法攝動的相對誤差均隨攝動參數的增加而增大，但位移法攝動增加幅度不大，相對誤差也沒有因時間的變化有較大波動，能保持長時間的數值精度，較為穩定．當取較大攝動參數0.7時，相對誤差也一直保持在10%以內．傳遞辛矩陣加法攝動的數值結果隨著時間的增加而發散，特別是當參數變化較大時，發散得更快．攝動參數取0.7時，相對誤差在第9秒已經達到50%，計算結果已經失去意義．綜上所述，無論是精確度、穩定性還是效率，位移法攝動均優于傳遞辛矩陣加法攝動．

3結論

本文將位移小參數攝動法拓展到電路領域，利用位移法攝動求解非線性電容LC電路．該方法由系統的拉格朗日函數出發，將變分式進行有限元離散，插值函數采用簡單的線性函數，得到時段剛度陣．對電路的特征方程進行一次攝動，用一次攝動后的近似剛度陣代替原時段剛度陣．最后根據剛度陣與辛傳遞矩陣的關系將問題轉換成辛傳遞矩陣求解的問題．1)通過與四階龍格庫塔法比較，驗證了本文方法求解非線性電容LC電路問題的有效性與正確性．2)比較了位移法攝動與辛傳遞矩陣加法攝動2種方法，數值算例表明，位移法攝動的精度及效率均高于傳遞辛矩陣加法攝動．在攝動參數較大的情況下，位移法攝動也能夠保證數值結果的精確性．3)相對于辛傳遞矩陣加法攝動，位移法攝動能夠保持長時間的數值精度，具有較好的穩定性．

作者：楊紅衛 高冉冉 彭碩 王玉琪 單位：北京工業大學應用數理學院