非線性混沌理論的兩種非線性參數估計范文

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《動力學與控制學報》2014年第二期

1兩種非線性預測方法的算法原理

1．1基于代替數據法的混沌辨識(1)信號的代替數據集的生成信號所對應的代替數據集可以由基于時間序列的Gauss隨機過程假設得到．本文通過對非Gauss過程有效的非線性直方圖變換方法來實現．對于一個原始信號，一般生成包含128個不同時間序列的代替數據集．進行直方圖變換時，首先生成一個與原給定時間序列長度相同的Gauss隨機數集合，然后對這個Gauss數據集的順序進行重排．新的時間序列應是具有Gauss概率密度函數分布的、與原序列相對應的非線性尺度變換的結果．對于原始信號是Gauss隨機的情況，變換后的序列也具有Gauss分布．第一步是，將時間序列x(n)進行傅立葉變換，得到接下來，通過將上述復數乘以eiφ使其相位角在每個頻率上隨機化，其中φ是歸一化的、在［0，2π］區間內變化的隨機量，得到新的X''''(k)．對其進行逆傅立葉變換，可以得到Gauss型代替數據序列，也就是得到具有原始信號相同的幅值分布形式的代替數據序列x''''(n)，如下式(2)統計量的計算由于低維混沌意味著其系統在短期內可以視為是確定性的，而隨機過程與此不同．可以將預測誤差ε取為統計量．首先利用狀態變量x將時間序列x(n)進行相空間重構，采用時間滯后的嵌入法，即其中嵌入維數d應該滿足d≥2D+1，D是系統的真實吸引子維數，在實際計算過程中往往需要依靠經驗選取．注意到這里的n小于數據長度N，即1≤n≤N．時間滯后點τ的選擇有時具有一定隨意性，在這里簡單地取作1．下面將時間序列的數據點集分成長度相等(Nf=Nt)的擬合集和檢驗集兩部分．在擬合集中，尋找與當前點歐幾里德距離最為相鄰的k個狀態點．這k個當前時刻為m的狀態點與對應的下一時刻m+1的狀態點組成如下k個點對:接下來，計算檢驗集Nt中的所有點對應的預測誤差，將得到N/2個預測誤差．預測誤差的定義為由(6)式得到的下一時刻(m+1)的預測值和實際值的差值．中，QD是由原始信號時間序列計算得到的統計量值(MAE值)，us和σs分別是由生成的128個代替數據序列計算得到的統計量值的均值和方差．計算得到的χ值可以用于分析原始信號數據和代替數據的差異．如果χ是一個較小的數，這意味著原始信號和它的所有代替數據集具有相同的性質，因此隨機假設可以接受，也就是原始信號是隨機的．相反，如果χ值較大，可以認為代替數據序列與原始信號有較大的差別，拒絕隨機假設．更進一步，為了辨識原始數據序列是隨機的還是混沌的，定義如式(8)所示的置信判據．拒絕隨機假設的最大概率也就是相應的顯著度P定義為據經驗，如果計算得到的概率P值小于0．05，原始信號數據將顯著地不同于它的代替數據集，這時可以拒絕隨機假設，認為原始信號在95%置信度下是混沌的．如果P值大于0．05，則認為原始信號是隨機的(95%置信度)．當然，這里的臨界值0．05可以根據實際情況的不同而不同．

1．2Lyapunov指數的估計算法Lyapunov指數的估計算法也是基于非線性預測理論的．進行相空間重構后，考慮兩條具有不同因為p是一個較大的整數，由此得到的Lya-punov指數是每個相點在其軌線上以指數形式發散的統計平均值．在上述Lyapunov指數中，一個或多個Lyapunov指數可能都是正的．根據非線性理論，正的Lyapunov指數意味著該時間序列(信號)是混沌的．

2實例

對某薄壁構件進行寬頻隨機激振試驗．外激勵為500Hz范圍內的標準白噪聲，對構件的振動響應進行測試．由于是兩種性質不同的非線性邊界條件，得到的構件振動響應呈現出明顯的非平穩振動信號特征，其中應該蘊含著不同的特征．圖1所示為測試得到的兩組振動響應時間信號，分別記為x1和x2．它們所對應的功率譜密度(PSD)如圖2所示．從圖(2)只能看出，這兩個信號都具有0－500Hz有限頻帶分布的特征，形狀上僅有稍微區別．因此，僅從圖1和圖2人們很難區分這兩個信號．首先從非線性定性分析的角度對這兩組信號進行比較．可以利用連續峰值來繪制這兩個信號的偽Poincare映射圖．設是一個時間序列的峰值集合，則它的偽Poincare映射圖是指對應繪出的點圖．如果考慮采樣誤差，信號的周期點會在偽Poin-care映射圖表現為一個較小的區域．而偽Poincare映射圖中出現分散的點區域時，根據非線性混沌理論，表明存在不規則或奇怪吸引子．對于這兩個信號x1和x2，它們的偽Poincare映射圖如圖3所示．從圖3(a)和(b)可以看出，信號x1和x2的偽Poin-care映射圖在形貌上還是有區別的．根據前文所介紹的非線性混沌分析理論，用代替數據法計算得到的關于x1和x2的概率P值見表1．如1．1節所言，如果P值小于0．05，則拒絕隨機假設，信號的混沌特性得到辨識(95%的置信度)．因此信號x1和x2都可以認為是混沌時間序列．另外，從表1中的其它特征值來看，如QD，us和χ，也可以對這兩組信號加以定量地對比區分．計算得到的x1和x2的Lyapunov指數如表2所示．在估算這兩組信號的Lyapunov指數的過程中，相空間重構的嵌入維數設為5，滯后點數設為7．從表2可以看出，x1信號有2個正的Lyapunov指數，即1．1785、0．1846，信號x2有3個正的Lya-punov指數，即0．9674、0．1857和0．0184．所以，這兩組信號可以視為是混沌的，但具有不同的混沌階數．

3結論

本文利用基于混沌理論的非線性預測方法對非平穩信號進行了比較分析．從定量分析研究的角度，所采用的代替數據法和Lyapunov指數估計方法對區分具有不同非線性性質的非平穩信號是有效的．對于兩個典型的非平穩振動信號x1和x2，代替數據法所得到的特征參數的數值是互不相同的，估算得到的最大Lyapunov指數也是正的．根據代替數據法中的概率值的大小可以看出，x1比x2具有更明顯的混沌特征，但是x1有2個正的Lya-punov指數，而x2有3個正的Lyapunov指數．

作者：魏春雨楊威王梓卉敏韓清鵬單位：遼寧科技大學機械工程與自動化學院