剪切效應時雙模量梁的自由振動范文

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《振動與沖擊雜志》2015年第二十四期

摘要:

研究了考慮剪切效應時雙模量梁自由振動問題。利用雙模量材料純剪切應力狀態單元體，推導出雙模量材料剪切彈性模量表達式。在考慮剪切效應的基礎上，建立雙模量梁振動的微分方程，推導出了雙模量梁振動問題的振型表達式，并討論分析了剪切效應對雙模量梁自由振動固有頻率的影響。算例分析表明，對于某些雙模量梁自由振動問題，剪切效應的影響是不能忽略的。得到了雙模量梁自由振動時，奇數波型與波型振型是不連續的存在間斷點的結論。

關鍵詞:

剪切效應;雙模量;梁;自由振動;頻率

在土木、機械等實際工程中，振動問題是較為常見的力學現象。在結構的振動過程中，結構的形狀、承載力會在極短的時間內發生急劇的變化，對結構的工作性能和使用壽命會產生嚴重的影響。因此，工程設計人員對結構的振動問題一直極為關注。大量的試驗和研究表明，材料在絕對值相同的拉應力或壓應力作用下，會發生絕對值不同的拉應變或壓應變，即材料具有明顯的拉壓彈性模量不同的雙模量性質。事實上，許多工程材料都在不同程度上表現出雙模量特性，如混凝土、復合材料等材料。工程設計中對材料的雙模量特性一般不予區分，現仍沿用經典彈性理論分析計算雙模量結構，在某些情況下會因本構關系不符合造成較大誤差，有可能成為工程結構失效的隱患。所以，在梁、彈性平面等問題的結構中，已經開始考慮材料的雙模量特性。文獻［1－2］采用有限元法分析了雙模量材料板的變形，文獻［3－5］研究了雙模量材料的本構關系及簡單的彈性平面問題，文獻［6－7］研究了雙模量材料的簡單桁架問題，文獻［8］研究了雙模量圓板中心在沖擊載荷作用下的彈性計算，文獻［9－13］研究了雙彈性模量材料板的彎曲問題，文獻［14］研究了不同模量彎壓柱的解析解并證明了軸向力對雙模量梁中性軸位置有影響，文獻［15］研究了拉壓不同模量橫力彎曲梁的解析解，文獻［16］研究了不同模量彎曲梁的自由振動。本文利用雙模量材料純剪切應力狀態單元體，推導出了雙模量材料剪切彈性模量表達式，在考慮剪切效應的基礎上，研究了雙模量梁自由振動問題。

1雙模量材料剪切彈性模量

在實際工程中，由于結構受力多以平面應力狀態居多，所以本文僅以雙模量材料結構的平面應力狀態為例，討論其應力與應變關系。當雙模量材料結構處于平面應力狀態，其受力單元體如圖1所示。對于圖1所示雙模量材料平面應力狀態單元體，可知其應力與應變關系分別。

2確定中性軸位置

因為雙模量連續梁在外載荷作用下會形成拉壓彈性模量不同的拉伸區和壓縮區，所以研究雙模量梁的變形還需要確定其在外載荷作用下的中性層位置。由彈性理論可知雙模量梁彎曲時其拉壓區應力和應變關系。文獻［14］已經證明了軸向壓力對雙模量梁中性軸的位置有較大影響。以上推導的雙模量梁中性軸位置公式與文獻［15］的結果一致，由此可知作用在雙模量梁上的橫向載荷，對任意邊界條件下的雙模量梁中性軸位置無影響。

3振動微分方程

假設雙模量梁坐標方向如圖3所示。橫坐標軸與梁振動時的每個周期的前半波梁段，在初始狀態即未振時的中性軸重合。由材料力學理論可知雙模量梁的彎矩及剪力表達式分別。對于簡支雙模量梁固有振動，由于每個周期的前半波梁段的中性軸與x軸方向重合，所以振型函數為式(19)。而每個周期的前半波梁段中性軸的波型與后半波梁段的波型相反，由此導致每個周期的前半波梁段的拉伸區、壓縮區與后半波梁段的拉伸區、壓縮區也相反，前半波梁段中性軸與后半波梁段中性軸之間的距離相差(h1－h2)，所以后半波梁段中性軸的波型函數為。所以，簡支雙模量梁自由振動時，n為奇數時的梁段中性軸的波型表達式為式(19)，n為偶數時的梁段中性軸的波型表達式為式(21)。對于邊界條件為其它支承雙模量梁的自由振動，利用其邊界條件及式(17)，采用上述方法同樣可以確定雙模量梁自由振動的振型函數及固有頻率。

4算例分析

為了進一步討論剪切效應對的影響，現以簡支雙模量梁為例來討論分析剪切效應對雙模量梁自由振動的影響。下面把不考慮剪切效應對雙模量梁自由振動影響時的頻率，與考慮剪切效應對雙模量梁自由振動影響時的頻率均列在表1中。對表1進行分析可以看出:雙模量梁固有振動頻率與單模量梁固有振動頻率的誤差均在12%或16%以上，超過了工程允許的誤差，這說明拉壓彈性模量相差較大時，雙模量梁固有振動不宜采用單彈性模量經典彈性理論，而應采用雙彈性模量彈性理論，否則會引起較大的誤差。不考慮剪切效應對雙模量梁固有振動影響時的頻率與考慮剪切效應對雙模量梁固有振動影響時的頻率，當簡支雙模量梁固有振型為1、2階數時，兩者誤差分別為1．0%、3．0%，均在工程允許誤差的范圍內;當簡支雙模量梁固有振型為3階數以上時，兩者誤差分別為6．0%超過了工程允許的誤差。并且隨著簡支雙模量梁固有振型階數升高，兩者誤差越來越大，當簡支雙模量梁固有振型為10階數時兩者誤差達47%。這說明剪切效應對雙模量梁固有振動低階振型時的頻率影響不大，對高階振型時的頻率是隨著振型階數升高影響越來越大。所以，對雙模量梁固有振動高階振型時的頻率計算，必須要考慮剪切效應的影響

5結論

(1)拉壓彈性模量相差較大時，雙模量梁固有振動不宜采用單彈性模量經典彈性理論，而應采用雙彈性模量彈性理論，否則會引起較大的誤差。(2)剪切效應對雙模量梁固有振動低階振型時的頻率影響不大，對高階振型時的頻率是隨著振型階數升高影響越來越大。雙模量梁固有振動高階振型時的頻率計算，必須要考慮剪切效應的影響。(3)雙模量梁自由振動時，奇數波型與波型振型是不連續的存在間斷點。

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作者：吳曉 黃志剛 楊立軍 單位：湖南文理學院