歐姆定律極值問題范文

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第1篇

【關鍵詞】數學方法；高中物理；電磁學

1.引言

國家高考物理科考試大綱明確提出考生應具備的第四種能力“應用數學處理物理問題的能力：能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論，能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析”，這里所要考查的就是要有靈活運用數學方法處理物理問題的能力。所謂數學方法，就是在科學技術工作中，把客觀事物的狀態關系和過程用數學語言表達出來，進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預言的方法。下面就以電磁學為例談談幾種數學方法在高中物理電磁學中的應用。

2.函數法

在電磁學問題中，經常需要確定兩個物理量間的變化所對應關系（包括極值問題），這就需要利用函數思想來完成，同時函數也是進行物理推導判斷的重要數學工具。在高中物理電磁學中主要用到的是一次函數、一元二次函數和三角函數。

2.1一次函數的應用

在電磁學問題中用到的一次函數有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函數y=ax描述的是y與x之間呈線性關系，比如在靜電場中討論F與E、U與d、Q與U等兩個量間的關系用的就是這種函數。

觀察函數y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不難發現，分子分母都有未知量x（自變量），如果x增加（減小），則分子、分母都同時增加（減小），這樣無法確定因變量y的變化情況。但是如果把分子、分母都同時除以x，函數就變為y=a/（a+b/x）關系就非常明朗了，y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小。這種一次函數在討論閉合電路中路端電壓隨外電阻變化等類似問題中經常有用到。

例1：設一個閉合電路中，電源電動勢為E，內阻為r，外電路為純電阻電路電阻為R，路端電壓為U外，試討論當R發生變化時，U外如何變化？

分析與解：這類問題既可用閉合電路歐姆定律E=U外+Ir（間接法，較易，本文不做討論）求解，也可用部分電路歐姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何討論呢？根據部分電路歐姆定律有U外=IR①，又由閉合電路歐姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），這就轉化成了形如一次函數y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可見U外隨R的增大而增大，隨R的減小而減小。因此當外電路斷開即R∞時，有U外=E，此為直接測量法測電源電動勢的依據；當外電路短路時即R0，故。U外=0。

2.2一元二次函數的應用

在處理外電路為純電阻電路中電源輸出功率隨外電路電阻變化規律以及討論滑動變阻器分壓接法電路中■或■示數變化情況等類似問題，可以把電阻這個動態變化物理量轉化成二次函數y=ax2+bx+c形式，將這個函數進行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可見當x=-b/2a時，y有最值（4ac-b2）/4a。當a>0時，y有最小值，當a

例2：如圖1所示，電源電動勢E=6V，內阻為r=1？萃，滑動變阻器R的總阻值為11？萃，固定電阻R0=3？萃，求當滑動變阻器從a到b過程中，■的讀數范圍。

分析與解：令■讀數I，并設ap部分電阻為x，則pb部分電阻為11-x，根據閉合電路歐姆定律及并聯電路的電流分配關系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）

可見當x=0時，Imax=0.5A，x=6？萃時，Imax=0.25A，故■示數范圍為從0.25A到0.5A連續變化

3.不等式法

不等式可用在半定量討論、推斷及求解極值問題，如在討論等量同種電荷中垂線上場強大小變化、某些并聯電路中■或■示數變化以及在兩大小材料均相同的同種電荷接觸后放回原處過程中庫侖力大小變化問題中，如果條件滿足均可以運用重要不等式a+b≥2■（a、b均為正數）或a+b+c≥33■討論最值：當和有定值，則積有最大值；反之當積有定值，則和有最小值。

例3.如圖3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑動變阻器的最大值R3=5？萃，則當滑動片P從a滑到b過程中，電流表示數的最小值為多少？

分析與解：由閉合電路歐姆定律可知電流表示數有最小值時，外電路電阻有最大值，設ap部分電阻為x，則bp部分為5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化簡可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故當且僅當a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃時ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示數最小值Imin.=2A。

4.幾何法

在處理靜電場中某帶電體受到庫侖力、重力、拉力等三個共點力的動態平衡問題時，如果直接運用平衡條件結合力的分解（正交分解）處理該類問題，過程非常繁瑣，這里可充分運用帶電體（質點）所受力的矢量三角形與對應另一個由長度組成的純標量三角形相似，這就是應用了平衡條件中相似三角形法，然后根據題目條件可在短時間內快速準確解決要討論的問題。

例5：一根絕緣細線下拴一帶電小球A，細線上的上端固定在天花板上，在懸點正下方某適當位置，固定另一帶同種電荷小球B，A靜止時，懸線與豎直方向成θ角，如圖6所示。現緩慢增加B的帶電量使θ角逐漸增大，則有關A球所受力的變化，下列說法正確的是（ ）

A.懸線的拉力大小不變 B.懸線拉力逐漸增大

C.庫侖力逐漸增大 D.庫侖力大小可能不變

分析與解：設懸線長為L，如圖7所示，掛在細線下端的小球在重力、細線拉力和電荷之間的庫侖斥力這三個力的作用下處于平衡狀態。由平衡條件的相似三角形可知：OAB～ACD，即L/G=L/F=AB/F，可見細線的拉力T=G不變，而庫侖力隨著AB的增大而增大。故本題正確答案為AC。

6.結論

數學方法在高中物理電磁學中應用廣泛而且巧妙，本文主要描述了函數法、不等式法、圖象法及幾何法，但有時在解決某些復雜電磁學問題時可能要用到上述這些方法中的兩種或兩種以上，甚至還可能用到其它方法如極限法。因此，在解題時可通過聯想、數理結合、數形結合來靈活地選擇合適的數學方法來解決電磁學問題，這將對提高解決電磁學問題的能力大有裨益。

【參考文獻】

[1]鄭表岳.《中學物理解題方法》.上海科技教育出版社，1992年9月

[2]薛金星.《中學教材全解―高二物理（上）》.陜西人民教育出版社，2003年5月第4版

第2篇

關鍵詞: 《恒定電路》 電路動態 分析方法

在《恒定電流》一章的學習中,學生經常會遇到考查電路動態分析的問題,此類問題的一般思路是根據歐姆定律及串、并聯電路的性質,來分析電路中某一電阻的變化,從而引起的整個電路中各部分電學量的變化情況,常見的分析方法有以下幾種。

1.程序法

基本思路是“部分―整體―部分”,即從電路中電阻阻值變化的部分入手,由串、并聯規律判斷總電阻的變化情況,再由閉合電路歐姆定律判斷總電流和路端電壓的變化情況,最后由部分電路歐姆定律判斷各部分電路中物理量的變化情況,即:

R增大減小R增大減小I減小增大U增大減小I部分U部分

例題1:如圖1所示,圖中的四個電表均為理想電表,當滑動變阻器滑動觸點P向右端移動時,下面說法中正確的是( )。

A.伏特表V的讀數減小,安培表A的讀數增大

B.伏特表V的讀數增大,安培表A的讀數減小

C.伏特表V的讀數減小,安培表A的讀數增大

D.伏特表V的讀數增大,安培表A的讀數減小

解析:當滑動觸頭P向右移動時,R的有效阻值減小,整個電路中的總電阻R就會減小,根據閉合電路歐姆定律可知干路電流I就會增大,因而A讀數就會增大,V讀數為E-I(R+r)就會減小,因為V的讀數也就是R兩端的電壓,所以A的讀數I也減小。V=(I-I)R就會增大。綜上所述,A、D選項正確。

此題如果用“并同串反”的原則去判斷則很簡單:如圖示V與R直接串聯,A與R間接串聯,依據“串反”的原則,所以A、V讀數都增大。V、A都與R并聯,依據“并同”的原則,所以V、A讀數都在減小。即A、D選項正確。

鞏固練習:如圖2所示電路中,若滑動變阻器的滑片從a向b移動過程中,三只理想電壓表的示數變化的絕對值依次為ΔV、ΔV、ΔV,下列各組數據可能出現的是( )。

A.ΔV=3V,ΔV=2V,ΔV=1V

B.ΔV=5V,ΔV=3V,ΔV=2V

C.ΔV=0.5V,ΔV=1V,ΔV=1.5V

D.ΔV=0.2V,ΔV=1.0V,ΔV=0.8V

解析:當滑動變阻器的滑片從a向b移動時,整個回路的總阻值變小,根據閉合電路歐姆定律可知,電路電流會增大,電壓表V的示數增大,內電壓也會增大,電壓表V測得的電壓為路端電壓,其示數會減小。因而電壓表V的示數會減小,又因為ΔV、ΔV、ΔV滿足關系式ΔV=ΔV+ΔV,所以得出ΔV>ΔV及ΔV>ΔV的關系,故選項D正確。此題如果使用地震波的原理:距離震源近的地方感覺強烈,遠的地方感覺要弱一些。電壓表V的示數相當于震源,則很容易得出結論:選項D正確。

2.口訣法

根據日常的知識學習,該種類型的題目還可以總結為“并同串反”的實用技巧。所謂“并同”就是指:當某一個電阻阻值變大時,與它并聯或間接并聯的電阻中的電流、兩端的電壓、電功率隨之而增大;當某一個電阻阻值減小時,與它并聯或間接并聯的電阻中的電流、兩端的電壓、電功率也隨之而減小。所謂“串反”就是指:當某一個電阻阻值變大時,與它串聯或間接串聯的電阻中的電流、兩端的電壓、電功率反而減小;當某一個電阻阻值減小時,與它串聯或間接串聯的電阻中的電流、兩端的電壓、電功率反而增大。

例題2:如圖3所示,電路中電源電動勢和內電阻一定,三只燈泡均正常發光,當滑片P向右滑動時,試分析三只燈(L、L、L)的亮暗變化情況。

解析:當滑動變阻器的滑片P向右滑動時,變阻器R的有效阻值將增大,則與R構成串聯回路的燈L(間接串聯),L(直接串聯)都將變暗(此時L、L兩只燈兩端的電壓u減小,電流I減小,電功率P也減小),即所謂的“串反”。而與R并聯的燈L將變亮(此時L兩端的電壓u增大,電流I增大,電功率P也增大),即所謂的“并同”。

例題3:如圖4所示電路中,A、B、C、D四只燈泡是完全相同的,當滑片P向下滑動時,下列說法正確的是()。

A.A燈變亮

B.B燈變亮

C.C燈變亮

D.D燈變亮

解析:當滑動變阻器的滑片P向下滑動時,變阻器的阻值R將減小,如圖所示,燈A、燈C與變阻器R是并聯的關系,燈D與R是直接并聯的,燈B與R是間接串聯的關系,由“串反”可知:P,P,即燈B和燈D將變亮,由“并同”可知:P,P,即燈A和燈C將會變暗。故B、D項正確。

例題4:如圖5所示,電源電動勢為E,內電阻為r。當滑動變阻器的觸片P從右端滑到左端時,發現電壓表V、V示數變化的絕對值分別為ΔU和ΔU,下列說法中正確的是()。

A.小燈泡L、L變暗,L變亮

B.小燈泡L變暗,L、L變亮

C.ΔU

D.ΔU>ΔU

解析:滑動變阻器的觸片P從右端滑到左端,總電阻減小,根據閉合電路歐姆定律可知總電流增大,內電壓就增大,路端電壓減小。根據“并同串反”的原則,可以判斷出:與滑動變阻器串聯的燈泡L、L電流增大,變亮,與電阻并聯的燈泡L電壓降低,電流減小,變暗。由圖示可知,電壓表U的示數即為燈泡L兩端的電壓,所以U減小,而電壓表U的示數即為燈泡L兩端的電壓,即U增大,而路端電壓U=U+U減小,所以U的變化量大于U的變化量,對于U變化量和U變化量大小的判斷還可以總結為類似于地震波的原理一樣,距離震源近的地方感覺強烈,遠的地方感覺要弱一些,即距離變化的電阻近的變化量大于距離遠的變化量。選BD。

3.極限法

因為滑動變阻器的滑片滑動而引起的電路變化問題,可以將滑動變阻器的滑片分別移動到兩個極端去討論,此時要注意在滑動變阻器滑片滑動的過程中是否會出現極值的情況,即要明確此過程中的變化是否單調變化。

在“恒定電流”中極值問題很重要:并聯電路兩支路電阻代數和一定時,如果兩支路電阻之差最小,則并聯電路電阻最大;如果兩支路電阻之差最大,則并聯電路電阻最小。(數學中的均值不等式討論)

例題5:如圖6所示電路中,R=2Ω,R=3Ω,滑動變阻器最大阻值為5Ω,當變阻器觸頭P從a滑到b的過程中,燈的亮度怎么變?

解析:如圖示,變阻器左邊aP部分電阻與R串聯,右邊bP部分電阻與R串聯,兩個支路再并聯,并聯總電阻R=R+R+R是一定值,所以當兩支路電阻相差最小值為零時(此時R=3Ω,R=2Ω),并聯的總電阻最大,由閉合電路歐姆定律可知此時干路電流I最小,燈的功率是最小的,所以此時燈的亮度是最暗的。即當P從a滑到b的過程中,電路總電阻先增大后減小,電路中的電流就會先減小后增大,燈的功率就先減小在增大,即燈是先變暗后變亮的。

例題6:如圖7所示,電源的電動勢E=8V,內阻不為零,電燈A標有“10V,10W”字樣,電燈B標有“8V,20W”字樣,滑動變阻器的總阻值為6Ω。閉合開關S,當滑動觸頭P由a端向b端滑動的過程中(不考慮電燈電阻的變化),則會()。

A.電流表的示數一直增大,電壓表的示數一直減小

B.電流表的示數一直減小,電壓表的示數一直增大

C.電流表的示數先增大后減小,電壓表的示數先減小后增大

D.電流表的示數先減小后增大,電壓表的示數先增大后減小

解析:根據R=可以求得R=10Ω,R=3.2Ω。當滑動觸頭P在a端時,滑動變阻器的總阻值6Ω,與R=3.2Ω串聯組成一個支路,阻值為9.2Ω,另一個支路電阻R=10Ω,兩個支路總阻值一定,當滑動觸頭P從a端向b端滑動的過程中,兩個支路的電阻差值越來越大,所以總阻值就越來越小,根據閉合電路歐姆定律可得:電流表的示數一直增大,電壓表的示數一直減小。故A選項正確。

4.特殊值法

對于某些電路問題,利用上述方法不好解決的時候,還可以采取代入特殊值法判定,從而得出結論。

例題7:(特殊值法)在圖8所示的電路中,電壓u為定值,當變阻器的滑動觸頭P從a滑到b的過程中,電流表讀數的變化情況是( )。

A.一直減小B.一直增大

C.先減小在增大D.先增大在減小

解析:本題用特殊值代入法判斷會比較方便,不過取特殊值法要注意:應該取多個位置,兩邊和中間這些有代表性的位置都要代入考查。設R′=R,則P在a端和b端時,電流表的讀數均為,當P在滑動變阻器中點時,電流表讀數為I=?=0.8,利用特殊值代人法計算表明電流表讀數是先減小后增大的。

例題8:在圖9所示電路中,r=r是固定電阻,R為滑動變阻器,且R=2r,V和V是電壓表,可認為內阻無窮大,電源電動勢為E,內阻為r,滑動變阻器的滑片P由a端滑到b端的過程中,電壓表V、V的示數將如何變化?

解析:本題我們同樣要取兩邊和中間這些有代表性的位置進行計算,當滑片P在a端和b端時,效果是一樣的,路端總電阻均為,當P在滑動變阻器中點時,電路中的路端總電阻為r。因而,在滑片P由a端滑到b端得過程中,電路中的總電阻是先增大再減小的,電路中的電流是先減小再增大的,路端電壓先增大再減小,故電壓表V的示數是先增大再減小的。電壓表V測的是r兩端的電壓,所以電壓表V的示數也是先增大再減小的。

第3篇

[關鍵詞]電磁感應；動力學；極值問題

[中圖分類號]G633.7[文I標識碼]A[文章編號]16746058（2017）20004801

發生電磁感應現象時，感應電流使導體在磁場中受到安培力的作用（電路閉合），從而引起導體所受合力、加速度、速度的變化，所以電磁感應問題往往與動力學問題聯系在一起。求解電磁感應中的動力學問題時，要抓好受力分析和運動情況的動態分析，這類問題的基本模型大致是：導體在拉力作用下運動，切割磁感線，產生感應電動勢產生感應電流導體受安培力作用導體所受合外力變化其加速度變化其速度變化當其加速度為零時到達穩定狀態，這時的速度為極值（極大值或極小值），導體開始做勻速直線運動。

解決這類問題的基本步驟是：

（1）用法拉第電磁感應定律和楞次定律（包括右手定則）求出感應電動勢的大小和方向；

（2）依據閉合電路歐姆定律求出回路中感應電流的大小和方向；

（3）對所研究的導體進行受力分析（包括重力、彈力、摩擦力、安培力等）和運動狀態分析；

（4）依據牛頓運動定律列出動力學方程或平衡方程；

（5）解方程并進行必要的分析和討論。

解決電磁感應中動力學極值問題的關鍵是通過對所研究導體的受力分析和運動狀態分析，尋找過程中的極值條件或臨界狀態，如速度、加速度為最大值、最小值等。一般來說，當速度為極大或極小值時，加速度a=Δv/Δt=0，合外力F合=ma=0，根據電磁學知識和動力學知識列出混合方程組，即可求得未知量。

【例1】如圖1所示，兩根足夠長的平行金屬軌道傾斜放置，傾角θ=53°，軌道上端接一只阻值為R=0.4Ω的電阻，兩軌道間距為L=40cm，且軌道足夠長，電阻不計。一根質量m=3g，有效電阻r=1.0Ω的均勻直金屬桿放在兩軌道上，且與軌道垂直。整套裝置處于磁感應強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向上。現讓桿沿軌道由靜止開始下滑，軌道和金屬桿接觸良好，不計它們之間的摩擦。求：

（1）在下滑過程中，桿可以達到的速度最大值；

（2）在加速下滑的過程中，當桿的速度大小為v=0.7m/s時桿中的電流及其加速度的大小。

分析：解決本題的關鍵是分析ab桿速度最大時的受力情況。

解：（1）金屬桿下滑過程中的受力情況如圖2所示。

當ab桿速度達到最大值時，加速度為零，這時有：mgsinθ=F安

F安=BIL

I=ER+r

E=BLv

解得：v=0.84m/s

（2）當桿的速度大小為v=0.7m/s時，桿ab正在加速下滑。

桿中的電流I=ER+r

=BLvR+r=

0.1（A）

桿的加速度a=

mgsinθ-BILm

=1.33（m/s2）

【例2】（2016年全國高考卷Ⅱ）如圖3所示，水平面（紙面）內間距為L的平行金屬導軌間接一電阻，質量為m、長度為L的金屬桿置于導軌上，t=0時，金屬桿在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運動，t0時刻，金屬桿進入磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場區域，且在磁場中恰好能保持勻速運動。桿與導軌的電阻均忽略不計，兩者始終保持垂直且接觸良好，兩者之間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。求：

（1）金屬桿在磁場中運動時產生的電動勢的大小；

（2）電阻的阻值。

分析：金屬桿進入磁場前在拉力F和滑動摩擦力f的作用下做勻加速直線運動，進入磁場后恰好能保持勻速直線運動，即F合=0。

解：（1）金屬桿在進入磁場前受力情況如圖4所示。

根據牛頓運動定律：F-f=ma

且f=μFN=μmg

v=at0

金屬桿在磁場中運動時產生的電動勢E=BLv

聯立解得：E=BLt0（F-μmg）m

磁場中運動時受力情況如圖5所示。

根據平衡條件得：F安+f=F

其中：F安=BIL=BLER

f=μmg