函數教學論文范文

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第1篇

（一）案例教學的內涵

對于案例教學，不同的教育工作者給出了不同的定義，不一而足。筆者認為，經濟數學的案例教學，是指教師以案例為基本素材，創設（問題）情境，通過師生、生生間多向互動，激發學生有意義的學習，使其加深對基本原理和概念的理解，以達到建構知識與提高分析、解決問題能力的目的的一種特定的教學方法，是一種理論與實際有機切合的重要教學形式。

（二）案例應用方式分類

依據案例在經濟數學概念（原理）教學過程中應用的方式和出現的位置，可將其分為以下四類。

1.概念（原理）前案例。在進入教學主題之前，先引入若干簡單、特殊的案例，然后以不完全歸納的形式呈現概念（原理）的教學方式稱為概念（原理）前案例教學。概念（原理）前案例數量以二三為宜。如：在導數（邊際）定義前引入變速直線運動物體的速度問題、曲線在一點處的切線的斜率問題，在定積分定義前引入曲邊梯形的面積問題等。

2.概念（原理）中案例。通過引入貼合教學主題、難度適中的案例，隨剖析隨呈現概念（原理）的教學方式稱為概念（原理）中案例教學。經濟數學中的彈性概念適合概念（原理）中案例教學。

3.概念（原理）后案例。在呈現概念（原理）后，再拋出相對較難的案例，以演繹的形式再現或者應用概念（原理），以加深學習者對概念（原理）的理解、內化、遷移能力的教學方式稱為概念（原理）后案例教學。概念（原理）后案例涉及的知識面比較廣，難度較大，可以分為課上、課下兩部分實施。課上以教師為主導，課下以作業的形式，促使有興趣的學生翻閱資料鉆研探索，鍛煉其分析綜合、解決問題的能力。概念（原理）后案例教學具有普適性。

4.前后呼應式案例。在進入教學主題之前，先拋出案例題干激發學生的學習興趣，而后呈現概念（原理），最后剖析案例，應用概念（原理）解決案例的教學方式稱為前后呼應式案例教學。前后呼應式案例教學適合于復雜概念（原理），如微分方程理論、差分方程理論、級數理論等。

二、分段函數的案例教學

例1：快遞收費問題。圓通快遞哈爾濱發深圳收費規定如下：首重1公斤，收費13元，續重每公斤10元。試建立快遞收費y（元）與貨物重量x（公斤）之間的函數關系。解：y=13，0<x≤113+10（x-1），x>—1例2：郵資問題。國內普通信函重量在100克及以內的，每重20克（不足20克，按20克計）本埠收費0.80元，外埠收費1.20元；100克以上部分，每增加100克（不足100克，按100克計）本埠加收1.20元，外埠加收2.00元。試分別建立本外埠郵資與信函重量之間的函數關系。

三、總結

第2篇

所謂數學思想方法是對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，他在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想;是在數學教學中提出問題、解決問題過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。掌握數學思想方法，就是掌握數學的精髓，因此要使學生領悟、掌握和熟練地使用數學思想方法，不是機械的傳授。下面我就在一次函數教學中用到哪些數學思想方法談談個人的一些做法：

一、數形結合思想方法

“數無形，少直觀，形無數，難入微”。“數形結合”是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡，使抽象變得直觀。如：一次函數y=-x+5圖象不經過哪一象限？解法一：根據圖象性質，k＜0,b＞0過一二四，即不過三象限。解法二：若忘了一次函數圖象性質，可做出此函數的圖象，問題就迎刃而解了。這就是利用了數形結合思想方法。

三、分類思想方法

當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論，例如一次函數y=kx+b的圖象經過哪幾個象限，這時就要分四類討論：

(1)當k＞0,b＞0時，圖象經過一二三象限；

(2)當k＞0,b＜0時，圖象經過一三四象限；

(3)當k＜0,b＞0時，圖象經過一二四象限；

(4)當k＜0,b＜0時，圖象經過二三四象限。

三、整體思想方法

整體思想是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。例如：已知y+b與x+a（a,b是常數）成正比例，（1）試說明y是x的一次函數：（2）如是x=3時，y=5，x=2時，y=2，求y與x的函數關系式。解決這個問題（1）時，我們就要把y+b與x+a都看成一個整體，設y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，從而說明y是x的一次函數，解決問題（2）時，當我們把握兩組數值代入解析式y=kx+ak-b中后得到一個三元二次方程組，顯然不能求出每個未知數的值，但我們可以把ak-b看作一個整體，就可以求出k=3，ak-b=4，從而求出y與x的函數的關系式是y=3x-4，在這個問題中兩次運用到整體思想方法。

四、模型思想方法

當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。如若想找出一次函數y=kx+b與x軸、y軸交點，可根據點在坐標軸上的特征，x軸上的點縱坐標為0，即當y=0時，x=-b/k，即與x軸交點為（-b/k，0）。y軸上的點橫坐標為0，即當x=0時，y=b，因此與y軸交點為（0，b）。這就用到了方程這一模型思想方法。

五、類比思想方法

當我們要探究一次函數y=kx+b的圖象及其變化規律時，由于一次函數y=kx+b的圖象可以看作是由正比例函數y=kx的圖象平移|b|個單位長度而得到的，因而可以利用之前已經學習正比例函數y=kx的圖象及其變化規律類比得出一次函數y=kx+b的圖象及其變化規律。

六、特殊與一般思想方法

第3篇

函數插值理論在數值分析中是非常重要的一個知識點，也是離散函數逼近的重要方法。其原理是利用插值法，可在離散數據的基礎上得到一條連續函數通過全部已知數據點，進而可以估算出其他節點處的近似值。插值方法主要有拉格朗日插值、牛頓插值、分段線性插值、樣條插值等，其理論煩瑣，但是又非常重要，它是數值積分理論的重要理論基礎。插值方法很多，如何在理論和實驗教學中讓學生掌握各個方法的原理，以及每個插值方法使用的注意事項，是擺在教師面前的難題。課堂注重理論，實驗注重做法，在實驗教學中，筆者認為應該在加強課堂理論學習的基礎上，實驗要注重如何讓學生鞏固課堂學習的成果，把插值的原理和特點通過設計的算例讓學生自己描繪出來。學生通過實驗全面認識各個插值理論的優缺點，為以后數值積分的學習打下基礎。為此，在插值實驗這一節，我們為學生設計了一個比較實驗，通過每一對有特點的算例的比較，讓學生在比較中獲得各個插值方法的使用注意事項和具體的操作方法，知道什么可以做什么不能做，并且獲得對插值的全新認識。實驗的首要任務是編程，利用MATLAB數學軟件結合課堂學到的理論公式編寫拉格朗日插值和牛頓插值的程序。盡管MATLAB有內置的命令實現拉格朗日插值，但是學生無法通過內置命令掌握拉格朗日插值理論公式，并且由于通過MATLAB編程實現拉格朗日插值和牛頓插值比較容易，所以還是要求學生通過理論公式獨立編程，以加深對理論公式的記憶和理解。在編程的基礎上，要求學生利用編寫的程序完成以下對比實驗。

1.從函數y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距離取5個點，要求學生分別利用拉格朗日插值和牛頓插值進行求插值函數的操作

觀察利用兩個插值原理求出來的插值函數有何異同。2.從多項式y=x4+x3+x2+x+1中等距離取5個點，要求學生利用拉格朗日插值方法進行插值操作，觀察獲得的插值函數和原函數有何異同。3.提示學生對函數y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5點拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，將節點個數增加到11個，將插值效果進行比較。4.在上例的基礎上，讓學生通過畫圖比較函數f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5點拉格朗日插值和11點拉格朗日插值效果。提示學生可以進一步增加節點個數，觀察得出的圖形。5.利用分段插值的方法，對函數（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）進行11點插值，與11點拉格朗日插值的插值效果比較。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距節點，提示學生利用[-1，1]上的切比雪夫多項式的零點（切比雪夫點）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1對以上兩個函數進行拉格朗日插值，與等距節點的插值效果進行比較。我們希望學生做完以上案例后不但能順利完成結果的獲得，而且還能利用課堂學到的理論知識分析得到的結果，這些結果都是課堂上講解的理論知識的數值例子，能做出來，會分析，這是對學生的鍛煉，也能提高學生的動手能力和學習積極性。以下我們對以上案例進行分析。1.通過案例1，學生得到結果后能了解到，在相同的節點條件下，利用拉格朗日插值和牛頓插值得到的插值多項式是一樣的，這與課堂的理論分析完全一致。這個結果是學生自己完成實驗后得到的，與課堂理論分析結合，學生更能理解兩種插值的相同之處。而通過編寫兩個插值方法的MATLAB程序，學生既可以學習編程，還可以掌握兩者達到同一目的的不同之處。

2.通過上例可得出拉格朗日插值和牛頓插值結果

一樣的結論，所以對四次多項式y=x4+x3+x2+x+1進行5點插值只需利用拉格朗日插值即可。學生可通過得到的結果和圖形知道，其實得到的插值多項式就是原來的四次多項式本身，原函數和插值多項式兩者的誤差為零。這個結論可以提示學生通過拉格朗日插值理論的誤差公式解釋和分析，從而復習和掌握拉格朗日插值誤差公式。

3.通過案例1得到的插值多項式的圖形對比原函數圖形

一般來說函數的5點插值的逼近效果還是不理想的，誤差比較大。若要提高逼近效果，首先讓學生通過實驗觀察提高節點個數對插值的逼近效果的影響。所以設計了一個對比實驗讓學生對兩個函數進行高次插值。通過實驗結果的觀察可知，對于函數y=sin（x），x∈（-2π，2π），11點的插值逼近效果在整個區間上都比5點插值效果好，幾乎和原函數重合了提高插值次數達到了良好的效果。而對于龍格函數f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出現了龍格現象，即區間中間部分逼近效果非常好，而區間兩邊出現非常大的震蕩。通過這兩個案例的比較分析，讓學生自己總結出光靠增加節點個數提高插值的逼近效果不可行，需要另找辦法。龍格現象是插值理論的重要知識點，在課堂教學中學生對該現象只停留在理論上，通過該實驗案例的分析，學生在自己做出龍格現象圖形的時候，能加深對龍格現象和拉格朗日插值的缺點的理解。而對于學生普遍會存在疑問，龍格現象只是龍格函數的特有現象嗎？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不會出現龍格現象嗎？可提示學生繼續對沒有出現龍格現象的函數增加插值節點，觀察龍格現象是否是所有函數的共有特點，并且這可以留作實驗作業讓學生課后自己完成。

4.此案例提供一個提高逼近效果的方法，就是分段插值

利用分段插值，可以在增加節點個數的情況下，保持插值次數不增加，從而保證的插值效果。學生通過此案例可以理解為什么介紹完整體插值后還需要講解分段插值，老師在以后介紹數值積分中的復化積分公式的時候，進行比較講解。5.通過切比雪夫點的插值案例，提示學生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通過改變節點的選取，把原來的等距節點變為區間上正交多項式的零點，可以在增加節點個數，讓拉格朗日插值的逼近效果也相應提高而不會出現龍格現象。這個案例可以和以后數值積分中的高斯求積公式配合，讓學生了解正交多項式的零點在函數逼近方面的重要應用。并且在介紹完[-1，1]上的切比雪夫點插值后，可以預留作業，讓學生在其他區間上尋找正交多項式零點進行拉格朗日插值，讓學生對正交多項式理論加深印象，為以后數值積分的高斯求積公式的介紹鋪墊。

二、結束語