探索平行線的條件范文

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第1篇

摘 要：在國家課程標準下，數學有多種教材版本，在同一課程標準下，為什么會有多種教材版本呢？顯然，各教材側重的方向和方法不同，但是最終目標是一致的。北京師范大學出版社出版的教材，簡稱“北師大版”，人民教育出版社出版的教材，簡稱“人教版”，主要研究這兩種數學教材《平行線判定》的異曲同工之處。

關鍵詞：平行線；判定；北師大版；人教版

目前，中小學數學主要使用北京師范大學和人民教育出版社兩種教材，其中沿海和新課改城市一般采用北京師范大學出版社的教材，而北方內地城市一般采用人民教育出版社的教材。兩種教材究竟有哪些不同和聯系呢？本論文將從新課程標準的要求、章節引言、內容結構和教學設計四方面，闡述兩本教材中《平行線判定》這一課的異曲同工之處。

一、新課程標準要求

1.實施意見

《義務教育數學課程標準》在實施意見中指出，數學教學要生活化、情境化和知識系統性，最終超出生活（生活數學）并上升到“笛模型”（書本數學）。

2.課程目標

在課程目標中要求學生：探索并掌握相交線、平行線的基本判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能；體會通過合情推理探索數學結論，運用演繹推理加以證明，在多種形式的數學活動中，發展合情推理與演繹推理的能力。經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。敢于發表自己的想法、勇于質疑，養成認真勤奮、獨立思考、合作交流等學習習慣，形成實事求是的科學態度。

3.內容標準

在內容標準中要求學生：識別同位角、內錯角、同旁內角。掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。能用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等（或同旁內角互補），那么兩直線平行。

二、兩教材中的章節引言

兩本教材的章節引言大同小異。都從生活出發，使用了橋梁圖片，引出本章內容。介紹了生活中的一些蘊藏相交線和平行線的景象，并介紹了本章學習的主要內容。

三、兩教材中的內容結構

《相交線與平行線》在初中數學北師大版教材中的第38頁至第60頁，使用了23頁的篇幅。而人教版是教材中的第2頁至第37頁，使用了36頁的篇幅。可見人教版使用的篇幅較多，將命題定理和平移的知識點也融入里面了。

北師大版的章節安排有：2.1兩條直線的位置關系，2.2探索直線平行的條件，2.3平行線的性質，2.4用尺規作角，回顧與思考，復習題。人教版的章節安排有：5.1相交線，5.2平行線及其判定，5.3平行線的性質，5.4平移，小結，復習題。可見章節安排大致相同，不過北師大版中的同位角、內錯角和同旁內角的概念安排在后，在“2.2探索直線平行的條件”中，一起使用了兩個課時。人教版中的同位角、內錯角和同旁內角的概念安排在前，在“5.1 相交線”中，而“5.2平行線及其判定”只使用了一個課時。同位角、內錯角和同旁內角概念的前后，體現了兩本教材的不同思路。

四、兩教材中的教學設計

北師大版的課題名字是“探索直線平行的條件”，課本分兩個課時，第一課時主要內容有：裝修工人如何使木條a平行于木條b？利用三根木條轉動模型，探索同位角概念和平行線判定（同位角），三角尺畫平行線，過直線外一點畫平行線。第二課時主要內容有：內錯角和同旁內角概念，探索平行線判定（內錯角、同旁內角）。根據課本內容，教學過程可以設計如圖：

1.情境引入

出示圖片，提問學生“看到這么多圖形，你有什么問題和想法想和大家交流一下嗎？”引出本節課的大問題“我們該如何判斷、作出兩直線平行？”

2.合作探究

學生討論、交流做平行線的方法，并上臺展示。學生1：“在同一平面內，做同一條直線的兩條垂線，這兩條垂線平行。”學生2：“用小學學過的知識，平移三角板畫出兩條直線平行。”學生3：“作兩組對邊分別相等的四邊形，得到平行四邊形，平行四邊形的對邊平行。”學生4：“在直線一旁，作兩個相等的角，這兩個角的另一邊互相平行。”……

3.導學達標

老師引導學生，總結以上方法，并找出共性。引出“同位角”的概念，發現“同位角相等，兩直線平行”。接著再思考過直線外一點作平行線的情況，讓學生體會平行線的唯一性和傳遞性。

4.矯正深化

安排練習，糾正認知錯誤，熟練知識點。課本安排了隨堂練習2道，習題5道。安排的習題有：求角度的、證明平行的、格子圖作平行線的、折紙作平行的、建筑工人調整工具作圖的原理等。主要側重操作。下一節課再學習“內錯角相等，兩直線平行”和“同旁內角互補，兩直線平行”。

人教版的課題名字叫“平行線及其判定”，課本安排了一個課時，在學習之前已經學習了同位角、內錯角和同旁內角概念，本課時的主要內容有：利用三根木條轉動模型思考兩直線位置關系，過直線外一點畫平行線，回顧三角尺畫平行線，平行線判定（同位角），木工用角尺畫平行線的原理，平行線判定（內錯角），平行線判定（同旁內角）。根據課本內容，教學過程可以設計如圖：

1.情境引入

出示圖片，提問學生：“看看這些圖形，它們有什么共同特征？”引出本節課的內容“兩直線的位置關系”。

2.合作探究一

思考三根木條轉動模型，思考兩直線不相交的情況。學生體會兩直線不相交時候的角與線的位置特征。

3.合作探究二

思考過直線外一點作平行線的情況，讓學生體會平行線的唯一性和傳遞性。學生畫平行線體驗。

4.合作探究三

思考以前學習過的用三角板畫平行線的方法，思考其中的原理。學生通過操作、演示和交流發現“同位角相等，兩直線平行”。學習完判定后，再思考木工用角尺畫平行線的原理，讓學生進一步體驗判定的內涵。

5.合作探究四

思考內錯角、同旁內角與同位角的關系，想想能否用內錯角和同旁內角的關系判斷兩直線平行。學生運用所學知識，將內錯角相等、同旁內角互補轉化為同位角相等，發現新的兩條判定。

6.合作探究五

思考垂直于同一直線的兩條直線的位置關系，運用前面所學知識，證明垂直于同一直線的兩條直線平行。學生在學習的過程中，不斷地應用所學知識。

7.矯正深化

安排練習，糾正認知錯誤，熟練知識點。課本安排了練習3道，習題12道。安排的習題有：求角度的、證明平行的、生活中的數學原理、區分三個判定、三個判定的聯系等。主要側重知識的應用。

五、兩教材中的異曲同工

兩教材的知識點、內容設計、章節引言和情境引入都符合新課標要求。兩本教材的課本引言和新課引入都從生活出發，引入課題，符合新課標中教學生活化和情境化的要求。兩本教材的內容、結構大致相同，循序漸進，從生活現象觀察里面所包含的數學原理，探索數學定理，不過人教版安排的內容比較多，習題也比較多，所以篇幅也較多，更加重視知識的系統性。

兩教材在探索平行線的判定過程中，都使用了木工畫平行線的情境，但是使用的方法有所不同，北師大版更注重從生活現象探索數學的過程，人教版更注重用數學知識解釋生活中的現象。例如，北大版利用木工畫平行線的方法，引導學生探索平行線的判定，判定是學生從生活中自己探索發現的，而不是強加給自己的。而人教版是在探索完平行線的判定以后，讓學生去解釋木工畫平行線的合理性，將數學知識融入現實生活中，服務于生活。前者重視讓學生自己去探索新的知識和方法，通過老師引導升華為數學定理，而后者重視利用自己所學的知識，解釋生活中的各種現象，用數學原理解決生活中的問題。

兩教材在探索平行線的判定過程中，都使用了同位角、內錯角和同旁內角的概念，但是使用的方法有所不同，北師大版更注重因探索的需要創造工具，而人教版更注重使用已有的工具探索新的問題。例如，北師大版在學習平行線的判定之前，沒有學習同位角、內錯角和同旁內角的概念，而是為了方便探索平行線的判定，給有相應位置特征的角起個名字，是在探索中新發現的數學概念和工具。而人教版是在之前就學習了同位角、內錯角和同旁內角的概念，而且在前面的習題中，引導學生，認識和區分這些角。在探索平行線的判定的時候，將這些角作為探索的工具，幫助學生探索平行線的判定。這些工具是為了探索新知而補充的知識。

兩教材在這一課中，除了重點學習“平行線的判定”以外，還學習平行線的唯一性、傳遞性、木工畫平行線、三角尺畫平行線和垂直于同一直線的兩直線平行，但是兩本教材放“平行線的判定”的位置不相同。北師大版放在最前面，人教版放在后面。可以看出，北師大版更注重探索“平行線的判定”這個活動，其他的知識都是在探索的過程中發現的相關聯的知識，因探索而生，優點是學生自己探索，思維比較發散，適合小組合作學習，體驗探索的過程，更加深入地體會到數學。缺點是學生探索的難度較大，方向不明。人教版更注重不斷探索，循序漸進，水到渠成。學生在探索“平行線的判定”這個活動之前，學習了很多鋪墊的知識，同位角、內錯角、同旁內角、平行線的唯一性和傳遞性和三角尺畫平行線等等，最后使用這些知識，輕易地探索到了“平行線的判定”。優點是學生比較容易探索新知，符合學生認知過程。缺點是學生是按照老師設定好的路走，思維受限制，問題分散，不利于開展小組合作探究。

第2篇

如圖示，直線a與直線b平行，被直線c所截。（1）測量同位角∠1和∠5的大小,它們有什么關系?圖中還有其他同位角嗎?它們的大小關系?

[生]測量結果∠1=∠5。[生]圖中還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8是同位角，測量它們的大小也相等。[師]現在我把∠5剪下，把它貼在∠1的上面，觀察到這兩個角相等。（教師動畫演示）[師]通過測量和剪貼對比∠1的度數和∠5的度數相等，其它同位角也一樣相等。從而得出同位角相等。[師]那么大家來說說是不是所有的同位角都相等呢?[生]不是。[師]很好。（電腦出示）如圖示:∠1與∠2是同位角，但不相等。

[師]那么到底兩條直線在什么情況下同位角相等？[生]兩直線平行時,同位角相等.[師]很好.我們得到結論就是在兩條直線平行的情況下同位角相等。那此時內錯角的關系怎樣?同旁內角關系怎樣？下面我們再來探索：（電腦出示）

如圖示，直線a與直線b平行。（2）圖中有幾對內錯角？它們的大小有什么關系？為什么？（3）圖中有幾對同旁內角？它們的大小有什么關系？為什么？（4）換一組平行線試試，你能得到相同的結論嗎？

[生]圖中有2對內錯角，分別是：∠3與∠6；∠4與∠5。通過測量它們大小分別相等。[師]很好，如果我們不通過測量而用數學語言是否能證明它們是相等的嗎？[生]能，直線a與直線b平行，∠3與∠7是同位角，所以∠3=∠7，又因為∠7與∠6是對頂角，相等，因此可知∠3=∠6。同樣得出∠4=∠5。[師]這位同學敘述得很好，我們用簡單的數學語言推證如下：（電腦出示）由此我們得到的結論是：兩直線平行，內錯角相等。（電腦動畫剪貼過程）接下來我們來解決第（3）個問題。[生]圖中有2對同旁內角。分別為∠3與∠5；∠4與∠6。它們的關系為互補。因為：直線a與直線b平行，∠2與∠6是同位角，所以∠2=∠6。又因為∠2+∠4=180o，所以得∠4+∠6=180o。同理推證∠3+∠5=180o。[師]這位同學敘述得很好，我們用簡單的數學語言推證如下：（電腦出示）由此我們得到的結論是：兩直線平行，同旁內角互補。[師]由此我們得到了平行線的特征：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補。[板書]接下來我們做一做。（電腦出示）如圖示，一束平行光線AB與DE射向一個水平鏡面后被反射，此時∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1，∠3的大小有什么關系？∠2與∠4呢？（2）反射光線BC與EF也平行嗎？

解：

下面我們來做練習以鞏固平行線的特征。Ⅲ.隨堂練習如圖（1）所示，AB∥CD，AC∥BD。分別找出與∠1相等或互補的角。圖（1）圖（2）解：如圖（2）所示：與∠1相等的角有：∠3，∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15。與∠1互補的角有：∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12，∠14，∠16。

生活數學1如圖1，一條公路兩次拐彎后，和原來的方向相同，第一次拐的角∠B是142°，第二次拐的角∠C是多少度？圖（1）圖（2）解：如圖2示，AB∥CD，∠ABC與∠BCD是內錯角。因為兩直線平行，內錯角相等，所以∠BCD=∠ABC=142°即圖（1）中∠C=∠B=142°

生活數學2如圖某玻璃碎片是梯形，已有上底的一部分，量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外兩個角各是多少度？解：因為AD∥BC，∠A與∠B是同旁內角，所以∠A與∠B互補，則∠B=180°-115°=65°同理可得，∠C=180°-100°=80°

Ⅳ.課時小結本節課我們主要學習了平行線的特征，了解了直線平行的條件與平行線的特征的區別。直線平行的條件：同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，兩直線平行。平行線的特征：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補。通過練習加深了對二者的應用，認識二者是互逆的。Ⅴ.課后思考題

第3篇

【關鍵詞】 平行線；錯誤；思考；啟發；思維

一節公開課的教學內容是滬教版 “13．5（5）平行線的性質”，本課的主要內容是平行線性質和判定的綜合應用，讓學生進一步體會說理的分析方法和說理過程的表述規范，是今后學習幾何證明的基礎，在人類的生活和生產實踐中也有廣泛的應用.

教學片段1：搭建思考的平臺

自然貼切的課堂導入是激發學生求知欲，吸引學生注意力的內在動力. 巧妙導入新課，能讓學生在愉悅的情境下產生對知識的好奇和渴望，增強學生學習的積極性. 如果能夠恰當地利用學生熟悉的背景或圖形來完成這一過程，那就更加事半功倍了 .

問題討論（情景引入）

師：本節課探討如何運用平行線的判定和性質來解決實際問題. 如圖，（1）要說明BD∥AE，請添加一個適當的條件，并說明添加的依據，請思考.

生1：∠AFD ＝ ∠FDE，依據內錯角相等，兩直線平行.

師：這的確是一對內錯角，它們是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的. （啟發學生思考）

生1：直線AE和直線CE被直線DF所截形成的，而直線AE和直線CE是不平行的，更不能說明BD∥AE.

師：你添加的條件合適嗎？

生1：我明白了. 應該添加∠BDF ＝ ∠DFE.

出示問題：（2）如果DF∥AC，請在圖中找出相等的角或互補的角，說出依據.

師：平行線的判定和性質的區別是什么？

生2：平行線的判定是用來判定兩條直線平行，平行線的性質可以得出角的關系.

師：上面兩個問題的條件和結論分別是什么？

生3：第一個問題是由角的關系推出平行關系，第二個問題是由平行關系推出角的關系.

教師板書 ：

平行線的判定

角 線

平行線的性質

片段1反思：這一問題將平行線的判定和性質進行全面概括，給學生許多可以思考的問題，抓住了學生的注意力. 一堂課要有一個自然貼切的課堂導入，才能在最短的時間內抓住學生的注意力. 給學生創設一個思考的平臺，讓學生在尋找角的關系中回憶平行線的判定和性質，利用這一設問激發學生思考問題的興趣，在錯誤中認識問題的本質，發散學生思維，引發學生對數學問題的思考. 學習數學離不開學生的學習經驗，在這里，將平行線的判定和性質應用探索濃縮在一個圖形中，通過設計一系列問題，揭示了課題，同時讓學生感悟要判定兩直線平行，可以尋找角的關系，如一對同位角相等，一對內錯角相等或一對同旁內角互補. 依據平行線的判定方法. 由平行線的性質可以得出角的相等或互補關系. 培養學生“用數學”的意識和能力.

教學片段2：變式中啟發思維

（課件出示）例題1：已知：∠1 ＝ ∠2 ， ∠C ＝ 70°，∠ADE ＝ 70°.問 BD平分∠ABC嗎？

（1）思考：學生思考后討論交流想法. （2）教師引導分析： 要說明BD平分∠ABC，就是要說明什么？

生：兩個角相等，即∠1 ＝ ∠DBC.

師：題目中有這個條件嗎？

生：沒有.

師：有與此有關的條件嗎？

生：有∠1 ＝ ∠2.

師：結合這個條件，你想到什么？

生：只要說明∠DBC ＝ ∠2.

師：∠C ＝ 70°， ∠ADE ＝ 70°這兩個條件的目的是什么？

生：是為了說明∠C ＝ ∠ADE.

師：這兩個角有特征嗎？

生：是一對內錯角

師：由此可以得到什么結論？

……

（3）打出證明過程，突出說理的規范表達.

歸納思考問題的策略：由已知條件，想到什么，依據是什么.

（4）請同學們思考：（如果改變題中的條件和結論，該如何求解）

本題中的四個數學語句重新組合

變式：已知： BD平分∠ABC，∠1 ＝ ∠2，∠C ＝ 70°.求∠ADE 的度數. （本題讓學生口述說理）

例題2：探索.

已知： ∠A ＝ ∠D，∠C ＝ ∠F ，

問： CE與BF平行嗎？為什么？

（1）思考：學生思考后討論交流想法. （2）教師引導分析：

師：由∠A ＝ ∠D這個條件，你想到什么？

生：FD∥AC.

師： FD∥AC作為條件得到什么？

生：可以得到許多結論，如∠F ＝ ∠FBA，∠C ＋ ∠FEC ＝ 180°……我不知道需要哪個結論？

師：你問得很好. 大家都在思考同樣的問題. 在這里也許你的思維受到一定的限制.

教師追問：你觀察到題目中還有一個條件嗎？這個條件的合理使用是解決問題的關鍵.

生：選擇的結論應該考慮∠C ＝ ∠F這個條件. （學生受到啟發，馬上積極舉手發言，思維頓時活躍起來，想出了多種思路解決本題. ）

……

變式：已知： ∠1 ＝ ∠2，∠C ＝ ∠F，問：∠A ＝ ∠D嗎？為什么？

通過該例題的分析，學生已初步感知解決問題的方法，即要抓住“由已知可知什么”、“待求量和已知量有什么關系”具體分析，所以本環節讓學生嘗試獨立完成說理，鼓勵學生進行思考分析. 幫助學生進一步鞏固對幾何說理的基本方法的領悟和規范表達的體驗.

片段2反思：例題關注學生的知識的應用，讓學生通過同桌交流、小組交流、全班交流等多形式，多方位地描述，既促使學生的合作探究，培養學生的思維，又提高了學生的語言表達能力，通過教師引領啟發分析，深入分析已知條件，形成初步的分析方法，變式練習可以把初步形成的分析推理方法及對規范表述的體會進一步清晰明朗化. 用合理的啟發引導，使學生的目光凝聚在一起，使學生的思維動起來.

教學體會

（一）學生的思維發展來自于教師的正確引導

本節課主要采用了傳統的啟發教學，以優化教師的教學方法和學生的學習方式為目的，將教材內容重組和整合，進行了大膽地探索. 學生由于基礎不同，思維也存在差異，會給課堂提問造成困難. 如果老師在課堂中包辦代替，學生給出錯誤的答案，不針對錯誤原因進行引導，而是直接給出正確答案，學生就會失去了思考的機會，對教材的理解會大打折扣. 如教學片段1，學生回答∠AFD ＝ ∠FDE，應對其錯誤原因進行分析和探討，引發學生思考. 另外，如果教師死用教材，就題講題，學生會失去動腦的機會，但如果對設計的問題進行變化，解讀題目的本質，便能使學生積極思考，觸類旁通，從而激活思維. 又如教學片段2中的例題2，在說理的基礎上進行了變式提問，把問題進行拓展，知識進行整合，在探究的過程中，鼓勵學生發表意見，學生出現錯誤時也并不急于打斷學生，而是讓學生說說自己的想法，充分暴露其思維的過程，這樣，有助于學生從不同程度、不同角度積極思考，激活學生的思維.

（二）讓學生在探索糾錯中體驗成功

整節課中，始終以學生自主探究、合作學習、全班交流的方式來開展知識應用學習. 課堂上，為學生提供了獨立思考、分析錯誤，再思考，相互討論、動手實踐的過程. 授課時，通過創設情境，讓學生演示、歸納、思考，經歷知識的形成過程，增強他們學好幾何的信心，讓學生嘗試通過自己的努力思考獲得成功的喜悅. 例如，為了區別平行線判定和性質，讓學生通過填表弄清條件和結論；在學習例題時，又讓學生自己嘗試解決問題，感受知識應用的樂趣……在整個過程中，學生自始至終處于被肯定、被激勵的狀態中，時時感受到自己是學習的主人，學生有較大的學習空間.

【參考文獻】