高等數(shù)學可視化教學與創(chuàng)新能力培養(yǎng)范文

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《合肥師范學院學報》2016年第6期

［摘要］高等數(shù)學是一門結構嚴謹、邏輯性較強的基礎數(shù)學課程。以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力為目標，提出了高等數(shù)學的可視化教學方法。從最簡單的微分概念開始，結合matlab軟件，通過步步設問、層層深入、數(shù)形結合的方式，深入淺出的探討了泰勒公式、傅里葉級數(shù)以及傅里葉變換等幾個概念。這不僅有助于數(shù)學概念的理解，而且無形中激發(fā)了學生的學習興趣，培養(yǎng)了學生獨立思考的能力和創(chuàng)新能力。

［關鍵詞］可視化教學；泰勒公式；傅里葉級數(shù)；傅里葉變換

高等數(shù)學是普通高等院校理工科專業(yè)本科生的一門必修課程。雖然是一門基礎課程，但是其在各專業(yè)核心課程的學習中卻發(fā)揮著非常重要的作用。然而現(xiàn)實生活中，很多大一新生并沒有認識到高等數(shù)學在后續(xù)專業(yè)課學習中的重要性，因而對枯燥的數(shù)學公式漸漸失去了學習的興趣，數(shù)學無用的思想油然而生。如何在枯燥的數(shù)學公式中讓學生找到學習的樂趣，培養(yǎng)他們獨立自主的創(chuàng)新能力是高等數(shù)學教學改革的重要內容。

李大潛院士曾經(jīng)在《漫談大學數(shù)學教學的目標與方法》中提到“如果將數(shù)學教學僅僅看成是知識的傳授（特別是那種照本宣科式的傳授），那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮作用；而掌握了數(shù)學的思想方法和精神實質，就可以由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力”。近年來數(shù)學實驗與可視化教學在掌握數(shù)學思想方面發(fā)揮了非常重要的作用．為了能更好的“演繹出千變萬化的生動結論”，本文從最基本的微分概念出發(fā)，結合matlab軟件探討泰勒級數(shù)、傅立葉變換等概念的本質特征及其之間的聯(lián)系。引導學生自覺培養(yǎng)創(chuàng)新能力和動手實踐能力，加強高等數(shù)學與專業(yè)課之間的聯(lián)系，從而減少學習高等數(shù)學的盲目性，提高數(shù)學學習的興趣。

1微分的近似計算

為了解決“直與曲”的問題產(chǎn)生的微分概念，給出了函數(shù)的局部線性近似。Δx越小，則微分近似值y1與函數(shù)值y之間的誤差oΔ（x）越小。很明顯在x0附近，微分近似計算公式（公式（1））是利用x的線性函數(shù)近似計算函數(shù)值f（x），由于舍掉的是Δx的一個高階無窮小量，因此隨著Δx的增加這種近似計算的精確度并不高。2泰勒公式要提高微分近似計算的精確度，也就是要減少誤差oΔ（x）。（3）可以看作微分近似計算公式（公式（1））的推廣，其精確度有了很大提高。如果用公式（3）對應的n次泰勒展開式近似計算f（x），那么其誤差Rn（）x是Δxn的一個高階無窮小量。為了比較近似效果，對公式（2）所示函數(shù)用不同次數(shù)的泰勒展開式在x0附近去近似計算f（x）。在matlab中利用y1＝taylor（exp（x．＾2），3，x，0．6），y2＝taylor（exp（x．＾2），4，x，0．6）分別獲得函數(shù)f（x）＝ex2在x0＝0．6處的2次和3次泰勒展開式。比較圖2中兩個泰勒展開式的近似結果可以看出隨著次數(shù)的增加，泰勒展開式的近似效果明顯提高，尤其是在遠離x0＝0．6處（圖2）。

3傅里葉級數(shù)

雖然高次泰勒展開式在x0附近能夠給出很好的函數(shù)f（x）的近似結果（圖2），但是這種近似卻不具有整體性，即遠離點x0時的近似效果較差。同時，需要函數(shù)f（x）滿足一定的條件，要求在點x＝x0要具有任意階導數(shù)。換個角度，泰勒公式可以看作函數(shù)f（x）在基底1，x，x2，x3…上的展開，那么如果換成由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成的正交三角函數(shù)集作為基函數(shù)，可能會完善泰勒展開式中存在的問題，這就產(chǎn)生了著名的傅里葉級數(shù)。

4傅里葉變

換對于非周期函數(shù)f（）t，傅里葉變換將其看作周期無窮大的函數(shù)，用無窮多個三角函數(shù)進行計算。也就是說傅里葉變換是將一個時域非周期的連續(xù)函數(shù)f（）t，用一個在頻域非周期的連續(xù)函數(shù)f（ω）表示，因此也是一種頻域分析方法。因為三角函數(shù)集是一個完備的正交函數(shù)集。

5結論

高等數(shù)學是一門推理嚴謹、邏輯性較強的基礎數(shù)學課程，將數(shù)學實驗與可視化方法引入到高等數(shù)學的教學中有助于學生對基本概念的理解。同時，借助于數(shù)形結合，啟發(fā)學生不斷提出新的問題，提高求知欲。結合圖1，為了提高微分近似計算的精確度，很容易掌握泰勒展開式的本質并且從圖2中看到效果。傅里葉級數(shù)在周期函數(shù)展開中的重要地位，同時理解頻域分析方法。結合極限思想，很容易將傅里葉級數(shù)推廣到非周期函數(shù)的傅立葉變換。由此可見可視化方法在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力具有明顯的促進作用。

［參考文獻］

［1］李大潛．漫談大學數(shù)學教學的目標與方法．中國大學教學［J］，2009，1：7－10．

［2］辛冬梅，閆志來．基于創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的大學數(shù)學課程改革研究－以高等數(shù)學實驗教學為例．廣東第二師范學院學報［J］，2016，36（3）：96－101．

［3］郭國安．可視化教學在高等數(shù)學教育中的創(chuàng)新性應用．高教論壇［J］，2015，10：58－58．

［4］張勇，付木亮．高職院校高等數(shù)學可視化教學．高師理科學刊［J］，2015，35（6）：80－81．

［5］于莉琦，高恒嵩，洪港．泰勒級數(shù)傅里葉級數(shù)沃爾什級數(shù)的比較分析．高等數(shù)學研究［J］，2015，18（4）：14－16．

［6］張霞，陳秀，王貴霞，江立輝，王玉．高等數(shù)學創(chuàng)新實訓課堂的構建與實施－以傅里葉級數(shù)為例．合肥學院學報（自然科學版）［J］，2014，24（2）：58－61．

［7］高慶地，李世光，高正中，吳旻．傅立葉變換的數(shù)學再認識．數(shù)據(jù)采集與處理［J］，2008，23（s）：23－26．

［8］王霞．高等數(shù)學教學中創(chuàng)新思維的研究與實踐．中國輕工教育［J］，2014，5：88－8.

作者：于紹慧 單位：合肥師范學院