投影平面變換求解空間研究范文

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《圖學學報》2016年第二期

摘要：

在畫法幾何中，投影平面變換可以改變空間幾何元素相對于投影面的位置，使新投影更有利于解題。在靜力學中，力矢量可以用直線段表示，空間任意力系的平衡問題可轉化成直線之間的圖示和圖解，文章試圖將投影平面變換的優點結合到空間任意力系的平衡求解中，使問題得到直觀地解決。以CAD為作圖工具并以編程為輔，以保證作圖的精度和速度，為求解空間任意力系提供了一種實用有效的方法。

關鍵詞：

投影平面變換；CAD；空間力系；力系平衡

有關圖解靜力學的研究歷史悠遠，可追溯到阿基米德利用支點思考平衡問題，達芬奇試圖用圖示方式思考力學問題，再到荷蘭的西蒙斯蒂芬利用繩索研究力學關系。經歷數代人的努力，德國的卡爾•庫爾曼教授于1864年出版了DieGraphischeStatik，為圖解靜力學奠定了基礎。但前人的工作只局限于將圖解法展示出來，圖解過程中的速度和精度問題還是沒有解決，因此實際應用較少。本文將圖解法與解析法相結合，利用計算機編程來解決空間任意力系問題，目的是保存圖解的直觀性，克服手工作圖精度差且速度慢的缺點，使圖解成為一種實用方法。本文為圖解靜力學與計算機結合方面的發展提供了新的方向。

1空間任意力系的圖解

靜力學的基本物理量有3個：力、力偶和力矩。靜力學是力學的一個分支，其主要研究物體在力的作用下處于平衡的規律，以及如何建立各種力系的平衡條件[1]。力可以用帶有方向的線段表示，用圖解法求解空間力系問題，會遇到直線之間的各種度量與定位的作圖以及求解直線段的實長、投影長、坐標差、方向角的圖解關系[2]。為說明問題，對下述實例分別以圖解法和解析法展開討論。如圖1所示，一段剛性管子ABCD，在轉角C處懸掛質量為200kg的載荷。管子有點A和點D的球形鉸鏈支承，其分別緊固在地板和垂直墻面上，另管子還用連接管子BC段中點E和墻上一點G的繩索拉著[3]。用圖解的方法求繩索內張力最小點G的位置及對應的最小張力值(忽略管子質量)。(1)根據圖1所示的尺寸，畫出AB、BC、CD各桿及E點和重量W的投影圖，如圖2所示，畫圖比例為1∶10。(2)將A、D連線作為一條軸線，以便圖解懸掛物重量W、拉力T對此軸線的矩。而A、D兩點的約束力因過此軸而不產生對此軸的矩。(3)二次投影變換將AD軸線變換為投影面的垂直線，鉛垂線W和點E也隨之變換，并在圖中標注出重力線W的投影長為w2=146.24，E點的投影e2，AD線積聚性投影a2d2與e2之間的距離200及a2d2到w2(重力線W的投影)的距離178.89，如圖3所示。

2一般位置直線變換成投影面的垂直線數學模型的建立

在二次投影變換中，將AD軸線變換為投影面的垂直線，其作圖方法簡化了問題的求解過程，對于含有力對軸的矩靜力學問題，這一投影變換方法具有一般性。為了用計算機作為圖解工具，以達到精確、高速并不失直觀性，建立將一般位置直線投影變換為投影面垂直線的數學模型，作為編寫求解含有力對軸的矩靜力學問題程序的基本方法。

3空間任意力系實例解析計算與圖解法的比較

為了說明圖解法的優點，上述問題的解析過程描述如下：圖6為管子的受力圖，包括載荷W=-(1962N)j,以及點A、D的約束力和繩索拉力T。為了在計算中排除點A、D的約束力，對AD求力矩之和。用表示沿AD的單位矢量。由此可見，解析法主要是以矢量為工具的邏輯思維方法，圖解法是以形、數、計算機結合為工具的邏輯思維和形象思維綜合的方法[5]，且圖解法是在AutoCAD2014的環境下作的，其精度取決于計算機的運算能力以及所使用的程序語言的特點決定[6]，AutoCAD2014的精度可達小數點后八位，其準確程度高于解析法[7]。在計算機編程的幫助下，圖解效率得到了大大提升。在圖解中跟蹤作圖進行數學分析，使得解題過程非常直觀，容易形成對問題的空間理解和思考，只需通過一定的變換即可得出最終的結果，避免了單純使用解析法所帶來的計算復雜、容易出錯等問題，因此提倡盡可能地把形、數、計算機結合起來，不但提高了精度，而且使問題的解決更加簡單。

4結束語

本文建立了一般位置直線變換成投影面的垂直線數學模型，運用編程求解空間任意力系問題，展示了力學問題解決方法的多元化，圖解法與計算機結合為特定的問題尋求了更加快捷的方法。圖解靜力學發展歷史悠久，但進展緩慢，在實用性方面明顯不足。隨著科技的發展，計算機與圖形的結合無疑為圖解靜力學提供了新的發展契機，逐漸在各方面都體現出了優越性[8]，但是要將圖解靜力學等相關理論完全運用到工程實際中，還有一定的差距，在今后的研究中，需將整個系統更加系統化，甚至可以開發相關軟件，方便業內人士的查閱，以建立完善的圖解體系。

參考文獻

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[6]左志遠,李熙亞.基于AutoCAD2000的圖解法的應用[J].東莞理工學院學報,2002,9(1):5-7.

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[8]昂雪野,管莉娜,丁建梅.基于AutoCAD的阿基米德蝸桿參數化造型程序設計[J].圖學學報,2010,31(3):27-31.

作者：楊夢紅  林妹妹  王大偉 許佳平 單位：華東理工大學機械與動力工程學院