地球運動的長期演化范文

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《天文學進展雜志》2016年第二期

摘要：

Milankovitch理論認為，地球表面日照量受地球運動變化的影響，這些改變又會導致地球氣候的變化。因此，古氣候學的研究需要相關地球運動變化的精確信息。目前，關于地球長期平動和轉動的最新理論是La2004,La2010和La2011模型，它們主要通過數值積分行星軌道和地球自轉運動方程得到；這些結果已被用于過去50Ma的地質記錄研究中。而超過這一時間范圍，解的準確性會由于混沌效應迅速降低。主要介紹這些天文理論的相關內容以及有關地球運動演化方面的最新進展。第2章是關于數值積分太陽系長期運動，第3章介紹長期歲差方面的內容，第4章給出有關地球運動的長周期分析，第5章則討論數值解的穩定性和太陽系穩定性方面的情況，最后是對目前地球運動長期演化領域的總結以及對未來的展望。

關鍵詞：

地球軌道；歷表；歲差

1引言

在太陽、月亮和其他行星引力作用下，地球軌道及其自轉軸在空間中的指向都隨時間發生緩慢周期性變化。根據Milankovitch理論，這些變化導致地表日照輻射量的改變，從而引起地球氣候的周期性變化[1]，而這種周期信息隨后被保存在對氣候變化敏感的沉積地層中。20世紀70年代，科學家通過分析深海沉積物的氧同位素驗證了Milankovitch提出的地球軌道周期與冰期旋回關聯的正確性[2]。隨后，這種以地球軌道參數和自轉變化規律來研究地球氣候演變和地質年代的方法，逐漸成為地質學的重要分支學科——旋回地層學[3,4]。目前，旋回地層學在新生代(650Ma)研究中已取得重要進展，但對中生代及更老的地質時期，則需要更高精度、更長時間尺度的地球軌道和自轉演化數據作為支撐。早期主要通過解析攝動法計算地球軌道。早在1781年，Lagrange利用分析方法研究了包括水星、金星、地球、火星、木星和土星在內的行星系統運動規律[5,6]。隨后在1856年，LeVerrier發表了更高精度的地球軌道結果，他考慮了除海王星外所有大行星的作用[7]。1873年，Stockwell則在LeVerrier的工作基礎上增加對海王星的處理[8]。而此前所有的工作都是針對一階線性動力學方程，Hill(1897)[9]、Bretagnon(1974)[10]和Duriez(1977)[11]則開始考慮更高階的作用項以提高計算結果的精度。然而所有這些方法都難以在相當長的時間跨度內給出太陽系運動較好的近似結果。隨著計算機的出現，數值積分逐漸成為解決此類問題的一種更為行之有效的方法。最早直接數值積分太陽系真實模型(無平均化處理)得到地球平動及自轉結果的工作由Quinn等人(QTD)(1991)完成，其積分時間為3Ma，并考慮到廣義相對論和月球的影響[12]。隨后Wisdom(1991)[13]和Sussman(1992)[14]通過含混和變量的辛積分器計算得到100Ma太陽系運動情況，并驗證了太陽系的混沌性質。隨著計算機技術的發展，太陽系演化計算的時間跨度不斷增加，計算精度也越來越高。Ito和Tanikawa(2002)[15]針對不含月球影響的太陽系牛頓模型，積分得到幾十億年的最長演化結果。Varadi等人(2003)[16]給出范圍50Ma的較高精度大行星歷表。除此之外，法國巴黎天文臺的天文學家Laksar也在相關方面取得巨大進展，其給出的太陽系長期演化模型是目前最權威的數值結果[17–19]。本文作者主要介紹他在地球軌道運動及自轉方面的研究工作。1985年，Laskar給出針對太陽系自控系統的一種新的分析研究方法，以計算相應Lagrange解對應頻率[20]。1986年則進一步考慮相對論效應和月球攝動作用，用數值方法計算10ka內行星軌道根數和地球自轉運動，并給出其多項式表達式[21]。1987年和1988年，Laskar將之前的太陽系演化計算推廣到30Ma，并利用傅里葉分析方法給出軌道的擬周期表達式[22,23]。隨后，Laskar完善頻譜分析理論，提出基本頻率數值分析法(NAFF)[24,25]。1993年，Laskar基于之前的工作，用Kinoshita剛體自轉理論[26]計算得到長時間地球自轉參數，同時根據QTD[12]解里的潮汐耗散模型對數據進行修正，得到地球自轉解La93[27]，并通過數值模擬的方法研究地月系統穩定性[28]。1997年，N´erondeSurgy和Laskar利用Hamilton的方法研究剛體地球自轉，并考慮潮汐耗散、地核地幔摩擦、大氣潮等作用，形成新的地球自轉理論[29]。1999年，Laskar研究地球軌道數值計算的局限性[30]。考慮到辛積分器更適合于太陽系長期演化的計算，Laskar等人針對此類攝動哈密頓系統給出SABAC4型辛積分器[31]。2004年，利用此積分器計算太陽系演化，同時在1997年相關工作基礎上計算得到地球自轉數據La2004[17]。2010年則改進數值模型，給出高精度長時間尺度下地球軌道運動模型La2010[18]。隨后La2011模型進一步優化數值積分算法，并以此研究小行星密近交會的現象[19]。與此同時，Laskar利用數值模擬的方法研究太陽系穩定性和混沌現象[32–39]。可以看出，Laskar通過不斷提高積分器性能，精化頻譜分析方法，改善太陽系動力學模型，從而不斷提高長時間尺度下太陽系內大行星軌道與行星自轉計算的精度，并研究其運動規律及穩定性。本文將介紹Laskar等科學家在太陽系長期演化及地球自轉領域的最新研究成果。第2章介紹利用數值方法計算太陽系長期演化，包括La2010的動力學模型、積分器和所得數值計算結果及分析；第3章介紹有關地球長期歲差方面的內容，并介紹La2004所使用的地球剛體自轉模型以及對潮汐耗散影響的處理等；第4章主要介紹地球軌道運動及自轉變化的長周期分析，包括頻譜分析方法NAFF，以及通過此分析方法得到的地球長期平動和轉動模型；第5章則討論數值積分的局限性，以及太陽系運動的穩定性；最后，我們就以上研究工作進行總結和展望。

2太陽系演化

太陽系是以太陽為中心，和所有受到太陽引力約束天體的集合，主要包括“八大行星”，及數以億計的太陽系小天體。與太陽系運動相關的N體問題一直為世人關注而未被真正解決。針對N體問題常用的解法包括：分析方法、數值方法以及利用定性方法輔助分析。與其他方法相比，數值計算不失為一種簡單高效的處理此類復雜問題的途徑。目前隨著計算機科技的高速發展，我們可以直接通過數值積分得到上億年太陽系運動變化情況。目前有很多通用型積分器，例如HNBody[40]、Mercury[41]可以直接用來積分計算太陽系運動演化，而對于特別問題的研究則需要自行設計專用積分器。當前最為權威的太陽系長期演化結果是由Laskar提供的La2010d[18]和La2011[19]。其中La2011為Laskar等人利用歷表INPOP10a[42]，并改進數值積分方法后得到的最新太陽系長期演化結果。其與La2010使用的數值模型及算法基本一致，這里我們主要介紹La2010的模型及結果。與歷表計算盡可能考慮所有的攝動項不同，在研究天體軌道長期演化時，則一般采用長期理論模型或稱為平均模型，此模型在運動方程中去掉全部短周期項[43]。La2010所使用的動力學模型為接近真實太陽系模型，主要包含所有太陽系八大行星，以及冥王星；為了獲得精確的地月系統演化結果，月球被當作單獨天體加以計算，并考慮地球和月球的主要引力場參數，以及地月系統的潮汐耗散作用；同時考慮最主要的相對論效應——太陽的一階后牛頓效應[44]；此外還計算5顆小行星Ceres、Pallas、Vesta、Iris、Bamberga所帶來的影響，以及針對剩余小行星和其他未模型化參數進行一定的修正。在天文動力學中所遇到的力學系統，很多都是哈密頓系統，或者帶有少量耗散的擬哈密頓系統。近些年發展起來的以辛幾何為理論框架的辛算法，已成為目前研究太陽系天體軌道長期演化的最佳數值方法。它能保持哈密頓系統的主要性質而不會引入人為的耗散，因而可以用大步長進行長時期的數值積分[45]。相對而言，其他諸多數值方法由于局部截斷誤差造成人工耗散，而不能保持能量守恒，導致最后計算結構失真[46]。La2010選取SABAC4型辛積分器[31]，此積分器將太陽系整體運動分為兩部分：可積部分(行星繞日和月球繞地的開普勒運動)和微小擾動部分(各個行星之間相互作用)，并增加對月球軌道修正處理過程。積分初始條件來自特殊的INPOP歷表[47](此歷表將INPOP歷表結果推廣計算至1Ma)。根據上面給出的動力學模型及積分器構造，就可以計算任何時刻的天體運動狀態。而數值積分的準確性，則是我們最為關心的問題。La2010針對不同積分模型及積分初值給出四個版本的積分結果La2010a、La2010b、La2010c、La2010d，以方便研究其數值積分的穩定性，表1給出這四個版本的差別。為估計積分結果的誤差，采用對相同模型積分但積分步長略微不同的兩次積分結果進行比較。圖1為La2010x和相應積分La2010x*，x=a、b、c(詳見表1)，所得地球軌道偏心率在100Ma內的比較。可以看到在大約50Ma內兩者差別基本為零，但由于混沌效應，之外結果差別迅速增大。這也說明由于數值積分方法引入的誤差，會導致La2010b,c的結果在55Ma前的結果不可采信，對于La2010a則為60Ma。此外，數值計算天體軌道長期演化通常采用太陽系簡化模型，忽略真實模型中的短周期效應。但這種近似是否能真正代表太陽系天體運動的真實情況，特別是所得長期解是否接近天體長時期的真實軌道？我們不得而知。不過，通過改變動力學模型等積分條件，可以利用數值方法研究動力學模型對積分結果的影響，具體內容詳見第5章。Laskar發現地球軌道偏心率的變化規律中，一項與木星和土星相關的405ka周期項(詳見第4章)在整個250Ma的時間范圍內保持穩定，受動力學模型影響較小，而被認為可能存在于地球軌道長期演化規律中。這一周期項也被地質學家用于古地質的研究中。Westerhold等人利用地層學方法得到：在早期古近紀(4754Ma)時期的地質數據與La2011和La2010d所給出偏心率變化周期相符[48]；也說明La2010d和La2011中偏心率參數的適用范圍可達54Ma。雖然數值積分方法極大程度地推動了太陽系長期演化領域的研究，但如何得到更精確、時間跨度更長的演化結果仍然是一個十分困難的問題。通過上面的分析可以知道，辛積分器雖然很好地保持了哈密頓系統的特性，但積分精度較低，提高結果的數值精度需要進一步改進數值積分方法；同時為了提高結果的準確性，需要改進太陽系動力學模型，模型不宜過于復雜導致積分時間過長，但又能真實地反映太陽系演化的長周期規律。這樣，通過太陽系長期演化的結果，就可以計算地球軌道長期變化規律——地球長期歲差。然后利用頻譜分析的方法，進而得到長期歲差模型。

3地球長期歲差

地球歲差是描述在太陽、月球和其他行星的引力作用下，地球自轉軸在空間中的長周期進動現象。國際天文聯合會(IAU)2006決議B1規定，從2009年1月1日開始，采用P03歲差理論[49,50]取代之前IAU2000歲差章動模型中的歲差部分，作為最新IAU歲差章動模型使用[51]。P03歲差表達式為五次多項式，雖然精度很高，但只適用于J2000.0附近幾千年的范圍，其誤差會在更長的時間范圍內迅速增加。此外歲差表現的是一種復雜的長周期進動現象，其主要周期都在上萬年以上，這點很難用多項式體現出來。于是長期歲差(longtermprecession)的概念應運而生。長期歲差主要指較長時間范圍的地球歲差，其時間范圍一般在幾十萬年以上。長期歲差所包含的周期一般都在一萬年以上，較短周期則歸為章動部分[52]。從這點來看，長期歲差能更好地體現出歲差的長周期特性。2011年，Vondra´k等人給出與IAU2006歲差模型最為接近的長期歲差理論[52]。根據太陽系天體對地球長期作用所產生兩個不同表現，將歲差分為黃道歲差和赤道歲差。其中黃道歲差表示由于行星質點引力對地球軌道面產生的攝動，使得黃道面的空間取向發生變化，引起春分點沿赤道運動。另一方面，赤道歲差表示由于日月和行星對地球赤道突起部分的較差力矩而引起的赤道面(極軸)的長期進動[53]。過去的20年里，很多人嘗試用不同方法計算地球赤道歲差。Kinoshita[26,54]、Kinoshita和Souchay[55,56]，以及N´erondeSurgy和Laskar[29]用哈密頓方法計算地球赤道歲差。Williams等人[57,58]利用月亮、太陽及其他行星軌道分析解，計算作用在橢圓型地球上的力矩。Hartmann和Soel[59]則利用數值積分得到的歷表計算力矩。Bretagnon等人[60,61]根據最新觀測數據(例如VLBI)，基于太陽系歷表DE403和月球運行理論ELP2000，用解析的方法給出高精度剛體地球自轉理論。最近，Klioner等人建立了相對論自轉理論[62]。他們根據Klioner[63]給出的后牛頓自轉方程，并考慮相對論力矩、相對論歲差/章動、多參考系及相應時間系統、相對論尺度變換等因素，給出建立在較為嚴格的相對論框架下的自轉理論。但真實的地球并非剛體。很早人們就通過古地質時鐘發現地球角動量的損失[64]，現如今通過激光測月技術精確測得月球潮汐加速度[65]。造成這些現象是多方面的，其中一個很重要的原因來自于潮汐耗散現象：月球等其他天體會造成地球的潮汐隆起反應，但地幔滯彈性和海洋能量耗散，使得潮汐變形反應有滯后性[66]，從而產生一個使地球自轉角速度減小的力矩和反作用于月球上的力。根據Mignard(1979)[67]，Touma等人(1994)[68]的潮汐耗散模型，認為此力矩與地球形變恢復到平衡狀態的延遲時間t成正比。N´erondeSurgy等人利用數學方法將潮汐耗散作用表示為對地球赤道歲差參數的影響，以及此耗散對月球軌道的反作用，具體潮汐耗散公式參考文獻[17,29]。此外，地球長期歲差的計算需要考慮更為精細的地月系統模型，其他摩擦作用，例如地核與地幔間的摩擦作用、大氣潮汐、地幔對流、氣候摩擦(climatefriction)等，也會對地球自轉產生影響。在La2004的動力學模型中，Laskar等人利用等效粘滯系數來處理地核與地幔間的摩擦作用[69]，其他效應則未被考慮[17]。于是，根據地月系統軌道參數就可以通過公式(2)和(3)計算得到地球赤道歲差參數ψ和。另外通過數值積分，可以知道此潮汐耗散模型對月球半長軸的改變大約是3.98cm/a，造成現階段日長的變化為2.68ms/100a[17]。另一方面，現階段的計算僅使用當前時期的動力學模型，并不能反映整個地質時期的真實情況。例如大陸板塊漂移、地球兩極冰塊覆蓋情況變化等因素都會對地球運動長期演化計算產生影響，而這些影響如何模型化也是非常困難的問題。基于相對論地球自轉理論[62]，Tang等人(2015)通過數值方法在一階后牛頓精度下計算地球姿態的長期演化，得到與相對論原理相符的長期歲差模型。通過分析相對論效應對長期歲差的影響，可以知道太陽的一階后牛頓作用和測地歲差為影響地球長期歲差的主要相對論效應。而其他相對論效應的影響在1Ma這個尺度上很小，可以在大多數情況下不考慮[70]。

4周期分析

用數值方法積分太陽系運動或者地球自轉，最終目的都是為了研究天體的運動規律，特別是地球軌道在其他行星攝動作用下的變化規律。對于軌道半長軸，帶內行星的變化非常小，而帶外行星則由于平均運動共振現象變化較為明顯[71,72]。在地質歷史時期，至少過去的250Ma內，地日平均距離沒有明顯變化[17]。雖然Poincar´e曾預言，由于混沌現象，太陽系中的行星軌道無法外推至無窮遠時刻[76]。不過在有限時間內(例如幾百萬年)，我們仍然可以利用數值積分得到行星軌道數值解，并通過頻譜分析方法給出軌道的擬周期近似解，而所得的結果也被廣泛應用于古氣候學的研究當中。在2004年和2010年，Laskar等人通過數值方法求得軌道頻率gi和si，詳見表2(第4列和第5列)[17,18]。其中4顆帶內行星相關頻率是利用La2004和La2010中20Ma的數據計算得到的，5顆帶外行星則利用50Ma的數據求得。頻率分析方法主要用來從動力學系統的數值解中找到主要的基本頻率，然后得到擬周期函數以用來研究系統長期演化規律。Laskar等人改進相關頻譜分析方法，針對研究太陽系混沌現象而給出NAFF方法[24,25]。整個分析方法過程大致如下：通過傅里葉變換公式找到具有最大作用的頻率項，然后將此頻率項的貢獻從數據中去除，再重復上面的步驟從剩余部分中找到其他主要頻率項。同時利用增加Hanning窗函數的方法提高尋找頻率的準確度。此方法能精確找到所需的基本頻率，以便更好地分析動力學系統的運動規律。

5穩定性

將地球軌道數值演化結果運用于地質研究中，目前已在新近紀時期(23.030Ma)研究中取得巨大成功[85]。下一步正努力提高天文軌道計算結果的精度，進而用于古近紀時期(6523Ma)。對于更遙遠的地質年代，則很難獲得精確的地球軌道運動解[17]。對于這種長時間尺度下的數值積分，積分結果的穩定性是我們最關心的內容。目前沒有太多行之有效的手段來估算長時間積分的精度。除利用位置、能量或沿跡誤差，還可以通過略微改變積分初始條件或者積分步長，然后對兩次積分結果的差異進行比較評估。對于太陽系長期演化問題，積分誤差來源有很多，包括數值積分方法的限制、舍入誤差的影響、積分初始條件的誤差、積分模型與真實模型的差別等。同時由于系統的混沌效應，這些誤差會在一定時間Tv后以指數的形式迅速被放大。Laskar對不同情況下時間Tv的大小進行估算。對于由于積分方法和截斷誤差對太陽系長期演化的限制大約是56Ma。這里針對相同的動力學模型，通過改變積分步長和初始條件分別積分，以檢驗結果的穩定性。而提高精度的辦法就是改進數值積分算法，或者是提高計算機計算精度[17]。另一項測試則針對動力學模型的不確定性，相應結果列在表5。當時認為最大的不確定性源于太陽的扁率，不過由于科學技術的發展，通過太陽和太陽風層探測器(SOHO)以及太陽全球振蕩監測網(NG)的測量可以得到JS2=(2.18±0.06)×107[86]，也將這一限制推后至大約40Ma[17]。對于地球自轉的計算，不確定性則源于潮汐耗散模型，以及由于冰川覆蓋和地幔對流對地球力學橢率的影響等[17,27]。數值積分方法讓我們從一個全新的角度去研究太陽系長期演化問題。自牛頓萬有引力定律誕生以來，人們一直希望解決N體問題的計算難題。隨后Poincar´e發現大多數情況下這個問題不可解[76]，即使對于最簡單的三體問題，仍然不可能找到一個解析式將行星軌道外推至無窮遠。隨后出現的KAM定理則進一步研究了在微小擾動下的非退化哈密頓系統存在擬周期運動[87–89]，并擴展運用于行星科學研究其穩定性[90–92]以及軌道發散變化性[93–96]。這些理論雖不能直接用于真實的太陽系，不過目前普遍認為太陽系在其有限的生命中是穩定的[39]。隨著計算機科技的發展，太陽系穩定性的研究也取得巨大進展。在計算機的幫助下，Laskar在1994年對數十億年太陽系的多種可能演化結果進行模擬，發現帶外行星運動較為穩定，而帶內行星出現明顯混沌和軌道漂移；并且水星和金星可能發生碰撞[38]。隨后改進數值計算方法和動力學模型，Laskar與合作者Gastineau于2009年公布對太陽系各種可能演化情況的龐大模擬結果[38]。在2501種可能性中(見圖2)，大多數結果表明在5Ga內的太陽系仍然像現在一樣運轉著，沒有發生巨大變化。然而有1%的結果預測水星軌道偏心率增加，導致可能與金星或者太陽發生碰撞，同時其中一個結果造成火星軌道偏心率增加，進而引起帶內行星運動的紊亂。太陽系演化的數值模擬結果一定程度上給出了太陽系穩定性的概率解。發生災難性變化可能性為1%，這一可能性比之前預想的要高。更為令人驚訝的是，如果只考慮純牛頓效應，這種混亂可能性會提高到60%，或許這也間接說明相對論的正確性[39]。

6總結與展望

近20年，隨著計算機科學的發展，數值計算和數值分析的方法極大程度地提高了我們對于整個太陽系演化的認識和了解，從地質時期地球軌道的計算到未來太陽系穩定性的研究都取得巨大突破性進展。通過數值積分，我們可以得到數百萬年內較為精準的太陽系演化結果，特別是地球軌道運動和自轉結果。借助頻譜分析的方法，也使我們對行星運動規律有了更深刻的了解。對太陽系演化可能性的模擬，也在一定程度上回答了太陽系穩定性的疑問。本文主要介紹了太陽系演化及地球自轉方面的發展狀況和趨勢，包括Laskar等科學家在行星軌道計算及分析，以及太陽系穩定性方面的工作情況。目前已公布的最新研究成果是地球軌道運動解La2010和地球自轉運動解La2004，相關數據可以在網頁上下載。這些數據主要利用辛積分器直接積分太陽系真實模型得到。其中地球偏心率的結果適用于過去的54Ma。而超過這一時間范圍，解的準確性會因混沌效應迅速降低。如何突破這一限制，提高地球長期演化解的精度和擴大適用時間范圍都將成為未來此領域研究重點。一方面需要提高數值積分算法的速度和精度；另一方面，目前所使用的動力學模型為簡化的太陽系模型，如何完善這一模型，考慮更微小的作用；同時加強與地質學家的合作，從地質記錄中獲得地質歷史時期的精確地球軌道參數周期，進而對模型進行修正，也是今后工作的方向。我國于2013年啟動“地時–中國(EARTHTIME-CN)”計劃[97]，主要通過建立與國際相關組織的聯系與合作，促使國內地質年代學、古地磁學和旋回地層學等實驗室之間的聯合研究，進一步提高我國高精度地質年代學和定量年代地層學研究的水平和國際影響[3]。該計劃將促進中國的地質學家和天文學家在未來更緊密地合作，進而為地球科學和太陽系演化研究做出更大貢獻。

作者：唐凱 唐正宏 陶金河 單位：中國科學院 上海天文臺