談課程思政之定積分的實踐教學設計范文

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摘要：本文對課程思政之定積分的應用進行了教學設計，并通過案例進行了分析。

關鍵詞：課程思政；定積分的應用；教學設計

定積分的應用（一）教學目的、要求：（1）鞏固定積分的幾何意義及計算；（2）掌握用定積分（微元法）求直角坐標系下平面圖形面積的方法；（3）綜合運用知識分析解決問題，培養學生思維能力和應用數學的能力；（4）通過引導學生觀察、思考、總結，培養學生的數學思維及邏輯推理能力，進一步提高學生的數學素養，提高學生利用數學解決實際問題的能力。教學重點：（1）微元法的基本思想和步驟；（2）利用定積分求解平面圖形的面積。教學難點：（1）微元法的理解；（2）適當選擇積分變量利用定積分求解平面圖形的面積。教學方法：分組討論法、講練結合法、行為引導法、分層教學法。課前準備：學習通上上傳數學家牛頓、萊布尼茲等數學家的簡介及在微積分領域、微元法的研究和貢獻。課堂教學程序：（1）分組討論線上預習視頻：數學家萊布尼茲和牛頓的在微積分中的研究簡介、微元法簡介；（2）介紹用定積分的幾何意義、微元法求解求平面圖形面積的方法及公式；（3）舉例；（4）課堂討論、小結；（5）線上線下作業布置。

1分組討論預習內容

同學們分組討論學習通中觀看視頻會對微積分、微元法的理解，以及對兩位數學家的評價。課程思政元素：萊布尼茨與牛頓流數術的運動背景不同，萊布尼茨對微積分的研究是從幾何方面進行的，他在研究不規則曲線的切線和不規則曲線所圍的面積時開始了對微積分的研究。我們現在使用的積分符號就是求和“sum”的首寫字母“S”拉長后得到的。除此之外，還有很多數學符號都是萊布尼茨引入的，如微積分中的dx、dy等符號，這些符號簡潔、方便，一直沿用至今。盡管牛頓與萊布尼茨各自從不同的方向創立了微積分但殊途同歸，他們對微積分的創立和現代數學的發展做出了巨大的貢獻，在優先權問題上我們不做過多評價和論述，我們認為他們的貢獻是相同的。要以開放、包容的心態去看待事物，在待人接物時要有一顆海納百川的心。

2定積分應用的引入

創設情境，引出新課。用多媒體展示多張圖片拋出問題：拱形橋橋面的面積？不規則湖泊及田地的占地面積？課程思政元素：通過以上問題，讓學生體會到數學和我的生活息息相關，無時無刻不存在我的生產生活中，讓學生感受所學知識定積分的實際意義和作用，讓學生體會到數學的巨大作用及魅力，激發學生對本次課以及《微積分》的興趣，提高同學的學習熱情。利用以上實例，引導學生學會把理論知識和實際問題聯系起來，再引出本節課的課題：定積分的應用———用微元法解決平面圖形的面積。

3定積分的微元法

在本章第一節定積分的定義中，采用了“分割（化整為零）、取近似（以直代曲）、求和（積零為整）、取極限（精確化）”的方法，從而求得了曲邊梯形的面積。事實上，除了求解曲邊梯形的面積，還有很多幾何量和物理量都可以利用這種思想方法去求解。微元法求解步驟：（1）選擇合適的積分變量；（2）求微分：找出量Q在任一小區間x，x＋［dx］上部分量ΔQ的近似值dQ，得到積分微元：dQ＝f（x）dx；（3）求積分：整體量Q就是部分量dQ在區間a，［b］的定積分，從而得到整體量的積分表達式：Q＝∫baf（x）dx。利用微元法解決曲邊梯形面積問題的方法如圖1：區間的面積微元dS＝f（x）dx；所以S＝∫baf（x）dx。課程思政元素：微元法的數學思想可以概括為“分割（化整為零）、取近似（以直代曲）、求和（積零為整）、取極限（精確化）”。這個思想在多個科學領域都有涉及，無論是對學生的學習，還是對老師都有很大的啟示，比如我在生活中學習中、在做作業的時候，碰到問題、碰到難題，當沒有辦法解決時，我可以嘗試將大問題分解成若干個小問題，分步驟各個擊破，先解決每一步的小問題，從而最終解決大問題。微元法讓我知道，學術上、生活中很多復雜的問題都是由若干個簡單的問題組合起來的，需要不斷思考探索，利用所學的知識合理科學地去分解問題、解決問題。

4平面圖形的面積的求法及舉例

利用微元法或定積分的幾何意義求平面圖形的面積。例1：求曲線y＝x2、直線x＝1和x軸所圍成平面圖形的面積？解：如圖所示，取x為積分變量，積分區間為0，［1］，則A＝∫10x2dx＝13（1）取x為積分變量，積分區間為0，［1］，A＝∫10（槡x－x2）dx＝16（2）取y為積分變量，積分區間為0，［1］，A＝∫10（槡y－y2）dy＝16說明：此題既可以選擇x作為積分變量，也可以選擇y作為積分變量。例3：求曲線y＝x2、直線y＝2x＋3所圍成平面圖形的面積？例4：求曲線y＝x3、直線y＝6及x＝0所圍成平面圖形的面積？讓學生自己分析練習以上例題3和例題4：（1）學生根據例題探究的過程來歸納解題思路及過程；（2）教師簡單點評，幫助學生修改、提煉，強調注意要根據積分變量的選擇把函數變形成用x表示y的函數或用y表示成x的函數；（3）也可以使用“微元法”求以上例題的面積。課程思政元素：為什么無界區域的面積確是一個定值呢？這個結果肯定讓在座的同學都感到驚訝，在我的認知中，無界區域的面積應該是無窮大的，為什么無界區域的面積確是一個定值呢？這會引發同學的討論和爭論，活躍了課堂氣氛并很大程度地激發了同學的學習興趣。此時數學的奇異美展現在同學面前；數學的辯證美展現在同學面前。此時教師自然而然地說：學習《微積分》不僅僅是因為開了這門課，為了學習而學習，更不是為了期末考試，重要的是讓同學體會到數學的魅力，體會數學的美好，幫助同學提高分析問題和解決問題的能力……在我平時的工作、生活和學習中，我可以將很多事情看成是一個“反常積分”，我往往認為某件事情憑我自己的能力是無法完成的，但實際上只要找對方法，我是有這個能力去很好地解決這些問題的。“反常積分”及無窮區域的面積為有限值這個問題不僅僅是存在于數學領域，在日常生活中我所面對的很多問題其實也一樣。所以我平時做事情不能一味地靠主觀判斷，要學會用科學的、理性的思維方法去思考，要辯證地看問題，不能被事物的表象迷惑，不能以偏概全，不能輕易下結論，解決問題的方式既要創新，又要邏輯縝密。國內外很多知名的數學家同時也是哲學家，同學可以多讀讀數學家的傳記，例如，大家課前預習視頻中的牛頓、萊布尼茲、亞里士多德、笛卡爾等，我所學的數學知識，比如定積分都不是憑空產生的，都是來自于實際生產生活中的問題。所以同學在生活中要做個有心人，用心去體會生活、感受生活，要善于發現生產生活中的問題、再提煉問題、解決問題。

5課堂練習、思考、討論

（1）分組闡述微元法思想？利用微元法解決問題的思路和步驟？（2）分組闡述求平面圖形的面積的方法和步驟，需要注意的問題？（3）求曲線y2＝x與x2＋y2＝2，（x＞0）所圍成的平面圖形的面積？（4）求函數y＝2xe－x在0，［2］上的平均值？

6結論

（1）微元法用于求區間a，［b］上不均勻可加量，主要步驟為：①局部求“微元”；②整體求“積分”。（2）適當選擇積分變量利用微元法解決平面圖形的面積問題。最后，在線上、線下作業布置。

作者：董培佩 單位：武昌工學院人工智能學院