投資決策概率統計運用范文

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數學是一門在非常廣泛的意義上研究自然和社會現象中的數量關系和空間形式的科學.作為一門重要的基礎學科和一種精確的科學語言，數學科學又是以一種極為抽象的形式出現的.這種極為抽象的形式有時又會掩蓋數學學科豐富的內涵，并可能對數學的實際應用形成障礙.要用數學方法解決一個實際問題，不論這個問題是來自工程、經濟、金融或是社會領域，都必須在實際問題與數學之間架設一道橋梁，首先是將這個實際問題轉化為一個相應的數學問題，然后對這個數學問題進行分析和計算，最后將所求得的解答回歸實際，看能不能有效的回答原先的實際問題.這個全過程，就稱為數學建模.通過構建數學模型，運用數學知識解決實際問題，對促進我國科技創新、經濟進步具有積極的意義。概率論解決的主要問題是不確定性問題.數理統計是以概率論為基礎的統計推斷問題.用概率論與數理統計的方法建模解決應用問題在經濟領域有著廣泛的應用.例如建廠決策問題某公司為擴大規模，想投資興辦工廠.對該廠即將生產的產品的市場需求量進行了調查分析，先得到結果如下：該種產品的未來市場需求量服從正態分布，其平均需求量為120萬件，標準差為20萬件，單件售價為20元.現有兩種建廠方案：方案甲：建小廠固定資產投資400萬元，年最大生產能力為130萬件，每件可變成本11．5元.方案乙：建大廠固定資產投資600萬元，年最大生產能力160萬件，每件可變成本10元.問：在最優化的條件下應該建大廠還是建小廠？解：

1問題分析

對于該公司來說，擴大公司規模的目的是最大限度的追求最大利潤.那么，對于他建廠的方案，我們就可以考慮如下的建廠決策，以其來決定最終的建廠方案：（1）盈利的可能性在99%以上；（2）期望利潤最大；（3）期望成本最低；（4）實現最低成本的可能性最大.

2符號說明

Q———產量；R———總收益；C———總成本；F———固定成本；V———可變成本；P———單件售價.

3建模與計算

3.1求各個方案的盈虧平衡點產量由于總收益R=PQ，總成本C=F+VQ，所以盈虧平衡點為：Q*=FP-V；代入數據得：Q*甲=40020-11.5=47（萬件）；Q*乙=60020-10=60（萬件）；由上述計算得：Q*甲＜Q*乙；所以方案甲有較低的盈虧平衡點，即只要產量超過47萬件，就開始盈利，但是它的可變成本增加的陡度超過方案乙，因而開始盈利后在，增加的速度比乙慢.方案乙有較高的投資成本，且盈虧平衡點比甲高.由此可知，甲乙兩種方案各有利弊，尚不能對最優方案做出判斷.

3.2盈利的可能性計算因為該產品的未來市場需求量是隨機的，故銷售該產品所得的總收益也是隨機的.但盈利的條件是需求量超過盈虧平衡點的產量，故盈利的可能性即需求量大于平衡點產量的概率.（1）由于該產品的未來市場需求量服從正態分布N(120,202)，故需求量Q的概率密度函數為P(Q)=120姨2πe-12Q-120202；所以甲乙兩種方案盈利的可能性如下：方案甲：P(Q>Q*甲）=P（Q>47）=∞47乙P（Q）d（Q）=99.95％方案乙：P(Q>Q*乙）=P（Q>60）=∞60乙P（Q）d（Q）=99.86％（2）盈利在300萬以上的可能性:假設能盈利在300萬以上則有20Q-F-VQ>300；所以此時有Q>300+F20-V;從而盈利在300萬以上的可能性為：PQ>300+F20-V乙乙=∞300+F20-V乙P(Q)d(Q)；代入數據得：方案甲：PQ>300+40020-11.5乙乙=∞82.35乙P(Q)d(Q)=97％;方案乙：PQ>300+60020-10乙乙=P（Q>90）=∞90乙P(Q)d(Q)=93.3％；（3）盈利在400萬以上的可能性：方案甲:PQ>400+40020-11.5乙乙=PQ>8008.5乙乙=∞8008.5乙P(Q)d(Q)=89.5％;方案乙:PQ>400+60020-10乙乙=PQ>10乙乙0=∞100乙P(Q)d(Q)=84.1％;兩種方案盈利的可能性都在99％以上，因而虧本的可能性很小.雖然盈利在300萬和400萬以上的可能性都是甲比乙大，但不能僅憑此就斷定甲方案比乙方案優，我們要綜合考慮各種可能的影響因素.下面我們看期望利潤、期望成本、實現最低成本的可能性.

3.3期望利潤計算由于總收益和總成本均是需求量的函數，故總利潤R-C=20Q-F-VQ=(20-V)Q-F是隨機變量Q的函數，但由于各種變量均受設備生產能力的限制，故期望利潤為：方案甲：由于設備最大生產能力為每年130萬件，故它的利潤公式計算為：R甲-C甲=(20-V甲)Q-F甲當需求量Q≤130時(20-V甲)×130-F甲當需求量Q>130≤時故期望利潤為：E（R甲-C甲）=130-∞乙（20-11.5)QP(Q)d(Q)+∞130乙(20-11.5)×130P(Q)d(Q)-400=644.936+341.445-400=586.408（萬元）方案乙：由于設備最大生產能力為每年160萬件，故它的利潤計算公式為：R乙-C乙=(20-V乙)Q-F乙當需求量Q≤160時(20-V乙)×160-F乙當需求量Q>160乙時故期望利潤為E（R乙-C乙）=160-∞乙（20-10)QP(Q)d(Q)+∞160乙(20-10)×160P(Q)d(Q)-400=1161.6+36.8-600=598.4（萬元）.

3.4期望成本計算成本公式為C=F+VQ;所以方案甲的成本公式為C甲＝400＋11.5Q當需求量Q≤130時400＋11.5×130當需求量Q>130乙時故方案甲的期望成本為：E（C甲）=400+130-∞乙11.5QP(Q)d(Q)+∞130乙130×11.5P(Q)d(Q)=400+954.132+237.705=1591.837（萬元）方案乙的成本公式為：C乙＝600＋10Q當需求量Q≤160時600＋10×130當需求量Q>160乙時故方案乙的期望成本為：E（C乙）=600+160-∞乙10QP(Q)d(Q)+∞160乙160×10P(Q)d(Q)=600+1161.9+36.8=1798.7（萬元）.

3.5實現最低成本的可能性首先將甲乙兩種方案的成本直線圖繪制在同一直角坐標系中，如下所示：C甲與C乙相交于點A，故在點A處有C甲=C乙，即400+11.5Q=600+10Q；于是QA=600-40011.5-10=133.3（萬件）上述QA將產量分為兩部分，從圖形上看，當Q≤QA時，方案甲有最低成本；當Q>QA時，方案乙有最低成本.實現最低成本的可能性為：方案甲：P(Q<QA)=P(Q<133.3)133.3-∞乙P(Q)d(Q)=74.22%方案乙：P(Q>QA)=P(Q>133.3)∞133.3乙P(Q)d(Q)=25.78%

4優化分析

為便于綜合分析，先將上述結果列表如下：從上表可知，甲乙兩方案的盈利可能性都在99％以上，因而虧本的可能性很小；從利潤上看，方案甲在盈利300萬元以上和盈利400萬元以上的可能性都比乙大，雖然方案乙的期望利潤高于甲方案，但兩者差別不大；從期望成本上看，方案甲的期望成本比較低，而且實現最低成本的可能性也比乙高.所以綜合考慮各因素可知，方案甲是最優方案.在經濟領域，類似的例子還有很多,要步步領先走在時代的前列，科學的決策是必要的.要進行科學的決策，我們可以運用數學建模的思想，將在經濟領域中遇到的問題轉化為數學問題，運用數學的方法進行解決.